[rulo44]

¿Cuantas soluciones tiene la ecuacion

\( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 29, \)

donde \( x_i \), son enteros no negativos tales que

a) \( x_i > 1 \) para \( i = 1, 2, 3, 4, 5, 6  \)

b) \( x_1 \geq{} 1, x_2 \geq{} 2, x_3 \geq{} 3, x_4 \geq{} 4, x_5 \geq{} 5, x_6 \geq{} 6  \)?

c) \( x_1 \leq{} 5  \)?

d) \( x_1 < 8 \) y \( x_2 > 8 \) ?

[Luis Fuentes]

Hola

 En general el número de soluciones enteras no negativas de la ecuación:

\(  x_1+x_2+\ldots+x_n=m \)

 es el número de combinaciones con repetición de \( n \) elementos tomados de \( m \) en \( m \) (forma de repartir las \( m \) unidades totales entre las \( n \) variables):

\( \displaystyle\binom{m+n-1}{m} \)

 Ahora ten en cuenta que tus problemas pueden reformularse así:

 a) Tomando \( y_i=x_i-2 \), número de soluciones enteras no negativas de la ecuación:

\(  y_1+y_2+y_3+y_4+y_5+y_6=29-2\cdot \color{red}6\color{black} \)

 b) Tomando \( y_k=x_k-k \), número de soluciones enteras no negativas de la ecuación:

\(  y_1+y_2+y_3+y_4+y_5+y_6=29-1-2-3-4-5-6 \)

 c) Soluciones enteras no negativas de la ecuación:

\( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 29, \)

 menos soluciones enteras no negativas de la ecuación:

\( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 29, \)

\(  con x_1\geq 6. \)

 Continúa...

 d) Inténtalo...

Saludos.

CORREGIDO

[Richard R Richard]

a) Tomando \( y_i=x_i-2 \), número de soluciones enteras no negativas de la ecuación:

\(  y_1+y_2+y_3+y_4+y_5+y_6=29-2\cdot 12 \)

Hola veo que aquí cada sumando puede tomar valores entre 0 y n

Quiza no entiendo el método pero... no sería  de este modo?

\(  y_1+y_2+y_3+y_4+y_5+y_6=29-2\cdot 6=29-12=17 \)

entonces la solucion es \( \dbinom{22}{17} \)

b) Tomando \( y_k=x_k-k \), número de soluciones enteras no negativas de la ecuación:

\(  y_1+y_2+y_3+y_4+y_5+y_6=29-1-2-3-4-5-6 \)

Siguiendo el criterio entonces la solucion es \( \dbinom{13}{8} \)

c) Soluciones enteras no negativas de la ecuación:

\( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 29, \)

menos soluciones enteras no negativas de la ecuación:

\( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 29, \)

\(  con x_1\geq 6. \)

Continúa...

entonces la solucion es \( \dbinom{34}{29}-\dbinom{28}{23} \)

d) Inténtalo...

Saludos.

Veamos si aprendí algo de este hilo

Primero calculo todas las que tienen \( x_2 >8 \)

\( \begin{pmatrix}y_1=&x_1\\y_2=&x_2-9\\y_3=&x_3\\y_4=&x_4\\y_5=&x_5\\y_6=&x_6\end{pmatrix} \)

resultan ser \( \dbinom{25}{20} \)

y luego le descuento las que tienen \( x_1<8 \)

\( \begin{pmatrix}y_1=&x_1-8\\y_2=&x_2-9\\y_3=&x_3\\y_4=&x_4\\y_5=&x_5\\y_6=&x_6\end{pmatrix} \)

que resultan ser \( \dbinom{17}{12} \)


por lo tanto son \( \dbinom{25}{20}-\dbinom{17}{12} \)

Será correcto?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

a) Tomando \( y_i=x_i-2 \), número de soluciones enteras no negativas de la ecuación:

\(  y_1+y_2+y_3+y_4+y_5+y_6=29-2\cdot 12 \)

Hola veo que aquí cada sumando puede tomar valores entre 0 y n

Quiza no entiendo el método pero... no sería  de este modo?

\(  y_1+y_2+y_3+y_4+y_5+y_6=29-2\cdot 6=29-12=17 \)

entonces la solucion es \( \dbinom{22}{17} \)

Si claro. Fue una errata. Supongo que en su momento dudé entre poner \( 2\cdot 6 \) ó \( 12 \) y al final mezclé las dos cosas.

b) Tomando \( y_k=x_k-k \), número de soluciones enteras no negativas de la ecuación:

\(  y_1+y_2+y_3+y_4+y_5+y_6=29-1-2-3-4-5-6 \)

Siguiendo el criterio entonces la solucion es \( \dbinom{13}{8} \)

c) Soluciones enteras no negativas de la ecuación:

\( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 29, \)

menos soluciones enteras no negativas de la ecuación:

\( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 29, \)

\(  con x_1\geq 6. \)

Continúa...

entonces la solucion es \( \dbinom{34}{29}-\dbinom{28}{23} \)


Si.

Veamos si aprendí algo de este hilo

Primero calculo todas las que tienen \( x_2 >8 \)

\( \begin{pmatrix}y_1=&x_1\\y_2=&x_2-9\\y_3=&x_3\\y_4=&x_4\\y_5=&x_5\\y_6=&x_6\end{pmatrix} \)

resultan ser \( \dbinom{25}{20} \)

y luego le descuento las que tienen \( x_1<8 \)

\( \begin{pmatrix}y_1=&x_1-8\\y_2=&x_2-9\\y_3=&x_3\\y_4=&x_4\\y_5=&x_5\\y_6=&x_6\end{pmatrix} \)

que resultan ser \( \dbinom{17}{12} \)


por lo tanto son \( \dbinom{25}{20}-\dbinom{17}{12} \)

Será correcto?

Saludos

Ahí querías decir "les descuento las que tienen \( x_1\geq 8 \)".

Por lo demás está bien.

Saludos.

[Richard R Richard]

Muchísimas gracias.

[Gafudo]

Me ha surgido una pregunta al hilo de este tipo de ejercicios. ¿Cómo se resolvería para la ecuación siguiente el cálculo de soluciones enteras positivas, si la restricción es que \( x_i \geq{2} \)?

\( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 + x_8 = 24 \)


Había pensado:
* Sin restricción: \( N = CR(8,24) = \begin{pmatrix}{31}\\{24}\end{pmatrix} \)
* Con uno de las incógnitas:    \( y_i = x_i + 2 \)        \( N(x_i) = CR(8,26) \)    (y habría 8, \( C(8,2) \))
* Con dos de las incógnitas:    \( y_i = x_i + 2 \)        \( N(x_i \cap{ x_j}) = CR(8,28) \)    (y habría 28, \( C(8,3) \)
...

Hasta el caso de haber 5 incógnitas, con 6 ya no se podría llegar a sumar 24.

Al final aplicamos el principio de inclusión-exclusión:   \( N\;-\;8·N(x_i)\;+28·N(x_i \cap{ x_j})\;-...  \)
No sé si voy bien...

Gracias de antemano.

[Luis Fuentes]

Hola

Me ha surgido una pregunta al hilo de este tipo de ejercicios. ¿Cómo se resolvería para la ecuación siguiente el cálculo de soluciones enteras positivas, si la restricción es que \( x_i \geq{2} \)?

\( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 + x_8 = 24 \)

¿Te refieres a la restricción \( x_i\geq 2 \) para \( i=1,2,\ldots,8 \)?. Entonces simplemente tomando \( y_i=x_i-2 \) equivale al número de soluciones no negativas de:

\( y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6 + y_7 + y_8 = 24-2\cdot 8 \)

Es decir:

\( CR_{8,8}=\binom{8+8-1}{8} \)

Saludos.

[Gafudo]

Muchísimas gracias por la respuesta.

¿Y si la restricción fuera que tienen que ser \( 0\,\leq{\,x_i\leq{5}} \)? Por ejemplo: \( x_1+x_2+x_3=13 \)

No me queda claro en qué caso sería necesario recurrir al principio de inclusión-exclusión.

Gracias otra vez.

[Luis Fuentes]

Hola

¿Y si la restricción fuera que tienen que ser \( 0\,\leq{\,x_i\leq{5}} \)? Por ejemplo: \( x_1+x_2+x_3=13 \)

No me queda claro en qué caso sería necesario recurrir al principio de inclusión-exclusión.

Ahí si. Si llamas:

\( T \)=número de soluciones no negativas de \( x_1+x_2+x_3=13 \)

\( T_i \)=número de soluciones no negativas de \( x_1+x_2+x_3=13 \) y con \( x_i\geq 6 \)

\( T_{ij} \)=número de soluciones no negativas de \( x_1+x_2+x_3=13 \) y con \( x_i,x_j\geq 6 \)

Entonces las soluciones en la cota que indicas son (por el principio de inclusión exclusión):

\( T-(T_1+T_2+T_3)+(T_{12}+T_{13}+T_{23})=T-3T_1+3T_{12} \)

Nota que "paramos ahí" porque no se puede dar que las tres variables serán mayores o iguales que \( 6 \) si la suma es \( 13 \).

Tendrías:

\( T=CR_{3,13}=\displaystyle\binom{3+13-1}{13}=\displaystyle\binom{15}{2} \)
\( T_i=CR_{3,7}=\displaystyle\binom{3+7-1}{7}=\displaystyle\binom{9}{2} \)
\( T_{ij}=CR_{3,1}=\displaystyle\binom{3+1-1}{3}=\displaystyle\binom{3}{3} \)

Saludos.