[Quema]

Hola

Si tengo una función real continua \( h \) y una v.a. \( X \) con densidad continua \( f(x) \) (obviamente \( f(x)\neq{}1 \)).

¿Puede \( h(x) \) tener un máximo en \( Eh(X) \)? Me pueden dar un ejemplo.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Supón que \( f(x)=1/2a \) en \( [-a,a] \).

 Ahora escoge una función \( h(x) \) con un máximo en \( x=0 \) y de manera que el área que por encima y por debajo del eje \( \color{red}OX\color{black} \) sea el mismo.

Saludos.

CORREGIDO

[Quema]

Hola

No la veo, además debo interpretar que te referís debajo del eje OX. Me suena a que \( f(x) \)y \( h(x) \) deberían ser simétricas. Además, me resulta difícil imaginar un caso donde la media de \( h(x) \) no sea cero.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Además, me resulta difícil imaginar un caso donde la media de \( h(x) \) no sea cero.

Es que en el caso que "pido" precisamente la media es cero. Por ejemplo, función de densidad \( f(x)=1/4 \) en \( [-2,2] \) y la función \( h(x) \) del dibujo.



Se cumple que \( Eh(x)=0 \) y \( h \) tiene un máximo en \( 0 \).

Saludos.

[Quema]

Hola

Justamente quería ver un ejemplo, donde el máximo no fuera en \( x=0 \). Supongo que puede construirse fácilmente de esta forma.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Si. Si queremos media mayor que cero, colocamos nuestro máximo y escogemos los triángulos de manera que el área del triángulo positivo sea suficienteme mayor que la del triángulo negativo para que la media coincida con el máximo.

Saludos.

[Quema]

Hola

Hay una cosa que se interpretó mal. Cuando digo que \( h(x) \)tiene un máximo en \( Eh(X) \)significa que el valor máximo que toma \( h(x) \)es justamente su media. En tu ejemplo, el máximo de \( h(x)=2 \)distinto a su media cero. Es decir, quiero saber si puede haber una función tal que
\( h(x)\leq{}Eh(X) \)para todo \( x \).

Me suena a que una condición necesaria es que \( h(x) \) sea convexa, no?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 mmmm... eso es imposible salvo para el caso trivial (\( h \) constante en todos los puntos del soporte de \( f \)). Intuitivamente la cosa es clara: la media de un conjunto de valores no pueded ser superior a todos ellos.

 Formalmente supongamos que \( h(x)\leq Eh(x) \) para todo \( x \), entonces:

\(  Eh(x)=\displaystyle\int h(x)f(x)dx\color{red}\leq\color{black}\displaystyle\int Eh(x)f(x)dx=Eh(x)\displaystyle\int f(x)dx=Eh(x) \)

 Eso quiere decir que en nuestra cadena de desigualdades en realidad todas son igualdades. Pero si  existe un conjunto \( E \) contenido en el soporte de \( f \) y de medida no nula tal que \(  h(x)<Eh(x) \) en \( E \), entonces la desigualdad en rojo sería estricta: imposible.

 Concluimos que la única posibilidad es que \( h(x)=Eh(X) \) en el soporte de \( f \) salvo en un conjunto de medida nula.

Saludos.