[Silfrid]

Hola a todos...

Tengo las siguientes propiedades:

Sean a, b € IR, X,Y variables aleatoreas discretas

Propiedad Nº1) E(aX + b) = aE(X) + b    (Donde E= Esperanza)

Propiedad Nº2) Var(aX + b) = a²Var(X)
                     Si se tienen 2 variables, se puede definir:
                     Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)

Propiedad Nº3) Cov(aX + b, cY + d) = acCov(X,Y)

Tengo que demostrar matemáticamente las 3 propiedades y dar un ejemplo de cada una.

¿Alguna sugerencia/ayuda?

Sería de mucha ayuda,

Saludos.

[Jjjuan]

Buenas,
Podés escribir todo eso más lindo con látex.
1) La esperanza se comporta linealmente. Aplicá la definición, la esperanza es una sumatoria para variables discretas y sacando factor común llegás a ese resultado.
2) Se puede demostrar que \( Var(X)=E(X^2)-E^2(X) \). Aplicá ese resultado, distribuí los cuadrados y fijate qué pasa.
 3) Te dan la definición \( Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) \). Analizá que pasa si procedés más o menos como en 2).
Para los ejemplos, tirá un dado.
Saludos, avisá si no te sale.

[Silfrid]

Muchas gracias por responder.

La verdad es que lo intenté, apliqué la definición y no me resulta, es decir, no llego al resultado correcto. 

Una vez que tenga lo primero que necesito, entonces aplicaré un Dado.

PD: Gracias por el dato de látex.

[Luis Fuentes]

Hola

La verdad es que lo intenté, apliqué la definición y no me resulta, es decir, no llego al resultado correcto. 

Escribe lo que hiciste para ayudarte a detectar el error.

Saludos.

[Silfrid]

Hola a todos, he seguido con esta consulta, aunque sin tiempo casi...
Aún me complica, pese a lo que expuse más adelante.

\( E(X + Y)= E(X)+ E(Y) \)
(La prueba se da para el caso discreto general suponiendo que \( E(X) y E(Y) \) ambos existen.)
Ahora \( X + Y =  \Phi(X,Y) \)  donde  \( \Phi(x,y) = x + y \)

\( E(X + Y) = \sum_{i}\sum_{j}(x_i+ yi)h(x_i,yi)  = \sum_{i}\sum_{j} x_ih(x_i,yi)  +  \sum_{i}\sum_{j} yih(x_i,yi) \)

Aplicando otro teorema que dice que \( f(x_i)= \sum_{j}h(x_i,yi)  \) y \( g(yi)= \sum_{i}h(x_i,yi) \)

Esto es, que las distribuciones marginales son las distribuciones (individuales) de X e Y.

Entonces obtenemos:
               \( E(X+Y) = \sum_{i}x_if(x_i) + \sum_{j}yig(yi) = E(X) + E(Y) \)

Mi problema sigue siendo con las constantes, "a y b"

Como inicialmente cité: \( E(aX + b) = aE(X) + b \)


¿Alguna ayuda/sugerencia/opinión?

Saludos,

Gracias.

[Jjjuan]

Está bien,
En ambos casos, discreto y contínuo, el operador usado se comporta linealmente, en un caso es el operador sumatoria y en otro el integral. Veamos el caso contínuo:
Por definición es:
                        \( E(aX+b)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}(aX+b)f(x)dx=a\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}Xf(X)dx+b\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx= \)\( aE(x)+b \)
Y ahí debe estar tu problema, puesto que vos lo que debés estar haciendo es meter un (ax+b) dentro de la función densidad. Lo mismo pasa con los momentos:
                        \( E((x-\mu)^2)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2f(x)dx \)
Sólo tenés que poner \( f(x) \) como densidad, por definición.
Saludo

[Silfrid]

Muchas gracias, ya comprendí mi error y lo corregí.



Saludos.