en esta pagina estan enunciadas y demostradas las tres leyes de kepler. De todas formas, yo te demuestro la 3º de una forma no correcta, pero en algunos casos suficiente, a ver si te sirve
http://www.interactiva.matem.unam.mx/kepler/html/kepler_demostracion.htmllas tres leyes de kepler son:
1º la orbita de un planeta alrededor del sol es eliptica y el sol esta en uno de los focos de la elipse descrita
2º la linea que une el sol con un planeta barre areas iguales en tiempos iguales
3º la relacion entre el cuadrado del periodo de un planeta es proporcional al cubo de su semieje mayor
Si se es poco exigente con la demostracion de la tercera ley, una demostracion muy muy sencilla se realiza tomando la trayectoria del planeta como una circunferencia, de esta forma, la fuerza entre masas sera igual a la fuerza centripeta:
FG=FC , siendo FG la fuerza de interacion entre masas, y FC la centripeta. Por tanto, tenemos
G*M*m/r2 = m*v2/r despejando v
v=(G*M/r)1/2 donde v=velocidad lineal, G= constante de gravitacion, M = masa del sol, r= radio de la trayectoria
por otro lado tenemos que v=w*r ; w=v/r y w=2*pi/T siendo w = velocidad angular, y T el periodo; igualando ambas ecuaciones:
v=(G*M/r)1/2=2*pi*r/T elevando al cuadrado y despejando T directamente:
T2=4*pi2*r3/(G*M)
Ahora podemos escribir T2/r3=4*pi2/(G*M) , dado que pi, G y M son constantes, T2/r3 = cte
Asi queda demostrada la relacion entre el cuadrado del periodo y el cubo del radio de la orbita. Espero que te halla servido de algo, si quieres demostraciones mas exactas, vete a la pagina que te puse arriba.
