Buenas,
Mirá, creo que la cuestión es así. Hay una regla de lógica que dice \( p\Rightarrow{q} \) y \( -q \) es cierto, entonces debe ser cierto que \( -p \). Se llama "modus tollendo ponens".
En el absurdo vos querés probar \( p\Rightarrow{q} \), entonces partís de que \( p \) es cierto, pero decís, veamos que pasa si asumo que \( -q \). Si eso te lleva a que \( -p \), se contradice tu suposición inicial sobre la verdad de \( p \), cuestión que solo se salva si la propiedad \( q \) es cierta. Fijate que, visto de otro modo, no es más que usar el "modus tollendo ponens" de arriba en definitiva. También se conoce esto como "probar el contrarecíproco".
Un saludo