Es bastante simple en realidad. Fijate:
Si descontamos las 2 cartas que tiene el jugador en cuestión, y las 5 que hay sobre la mesa, quedan 45 cartas (3 de las cuales son 5s). Imaginate 45 casilleros vacíos que podríamos rellenar con cada una de estas cartas. Imaginate que a cada uno de los 6 jugadores restantes se le asignan 2 de esos 45 casilleros (fijos), y al mazo se le asignan los otros 39 casilleros. Convencete que si ordenamos las 45 cartas de todas las formas diferentes posibles en estos casilleros, cada una de estas formas de ordenarlas representaría cada una de las jugadas posibles (mejor dicho, cada una de las situaciones ante las cuales podría estar el jugador en cuestion). Primero vamos a ver cuantas son, para despues ver cuantas son aquellas en las que ninguno de los otros 6 jugadores tiene un 5 (que son un subconjunto de las primeras).
Para el total, es muy sencillo, son 45! formas diferentes (supongo que esto lo sabrás, se puede pensar como que el primer casillero lo podrían ocupar 45 cartas diferentes, para cada una de esas posibilidades, el segundo lo podrían ocupar 44 cartas diferentes, y así sucesivamente)
Para saber cuántas son las combinaciones en las que ninguno de los otros jugadores tiene un 5, podemos pensarlo al revés: el 5 de corazones, podría estar en uno de 39 lugares distintos (los del mazo). Para cada una de esas posibilidades, el 5 de trébol podría estar en uno 38 lugares distintos (porque hay un lugar del mazo que ya ocupó el de corazones). Y el de picas en uno de 37. Para cada una de estas posibilidades, las restantes 42 cartas se pueden ubicar de cualquier forma entre los 42 casilleros restantes. Es decir, que en total, las cartas pueden ubicarse de 39*38*37*42! formas diferentes de manera tal que ninguno de los otros 6 jugadores tenga un 5.
Pero lo que nos preguntaban era cuál es la probabilidad de que al menos uno tenga un 5. Para eso necesitaríamos saber cuántas son las combinaciones en las que a alguno de los otros 6 jugadores le toca un 5. Fijate que son las restantes, es decir, 45! - 39*38*37*42! = 42!*(43*44*45 - 39*38*37) = 24!*30306.
Para saber cuál es la probabilidad, lo que hacemos es dividir la cantidad de combinaciones que satisfacen lo pedido por la cantidad de combinaciones totales. El resultado es 42!*30306/45! = 30306/(43*44*45) = 0.356 aproximadamente.
Decime si coincide con el resultado que debería dar y avisá si alguna cosa no quedó clara.
