[jo0000se]

Buenas, tengo el siguiente problema de probabilidad y 2 soluciones... una de ellas errónea. La pregunta es: por qué?

PROBLEMA: probabilidad de coger 9 cartas diferentes en una baraja de 54 cartas con reemplazamiento.

SOLUCION1:

(formas de coger 9 diferentes de 54 con órden) / (formas de coger 9 con repetición y órden) = (54 sobre 9) * 9! / 54^9

SOLUCION2:

(formas de coger 9 diferentes de sin órden) / (formas de coger 9 cartas con repetición sin órden) = (54 sobre 9) / ( 54 + 9 - 1 sobre 9)


La primera solución es correcta (coincide con el resultado que se supone debe dar) mientras que la segunda no... alguien sabría decirme cuál es el error en el segundo planteamiento? (tiene pinta de error conceptual de dimensiones considerables).

Muchas gracias!!!



// de hecho en un ejemplo con 2 cartas cogidas con reemplazo de un conjunto de 2 cartas ya se ve que algo falla... sin embargo no acabo de ver por qué es IMPRESCINDIBLE hacer este ejercicio con órden...

Si las dos cartas fuesen A y B, en el primer caso hay 2 válidas  entre las posibles  AA, AB, BA, BB
mientras que en el segundo hay uno "bueno" entre las posibles AB, BB, AA (ya que no distingue orden entre AB y BA).

Lo que veo es que si AA y BB se considerasen como el mismo caso (dos no diferentes) el resultado sería el correcto... de qué forma puedo expresar eso matematicamente?

[pepito]

Primero fijate si lo que interpreté del problema está bien (porque a mi no me lo enseñaron exactamente con esos términos).

PROBLEMA: saco una carta de un mazo de 54 cartas, la devuelvo al mazo. Mezclo, saco una carta, la devuelvo. Mezclo. Así 9 veces. Quiero ver cuál es la probabilidad de que las 9 cartas sean distintas.

Seguí leyendo sí y sólo sí eso es lo que quisiste decir.

SOLUCIÓN 1: Todos estamos de acuerdo en que es correcta, lo que hiciste fue dividir la cantidad total de resultados que cumplen lo pedido por el total de resultados posibles. (por resultados, me refiero a las combinaciones). Si me hubieran presentado a mí este problema, habría dado esta solución sin más vueltas.

SOLUCIÓN 2: Me parece que lo que quisiste hacer acá es simplificar el "con orden" que aparece en el numerador y en el denominador. Vamos a ver por qué esto está mal. En el numerador, cuando uno dice "con orden", lo que está haciendo es repetir 9! veces cada uno de los resultados que aparecerían en el numerador si uno dijera "sin orden" (esto se debe a que las combinaciones del numerador están compuestas por 9 cartas distintas). Sin embargo, en el denominador esto no ocurre. Para las combinaciones del denominador que están compuestas por 9 cartas distintas, es cierto que en el caso "con orden" son 9! repeticiones de cada una de las presentes en el denominador "sin orden". Pero son las únicas. Fijate, por ejemplo, que las combinaciones del denominador "con orden" que tienen un par de cartas iguales y otras 7 diferentes, son \(  \binom{9}{2}.7!  \) repeticiones que las que aparecen en el denominador "sin repetición". Podés probar con bastante facilidad que las combinaciones que aparecen en el denominador "con orden" son menos (estríctamente menos) de 9! repeticiones de las que aparecen en el denominador "sin orden" cuando se trata de combinaciones en las que hay cartas repetidas. El caso extremo serían las combinaciones formadas por 9 cartas iguales, donde da igual decir "con orden" o "sin orden". Por eso esta solución te dio una probabilidad muchísmo menor a la que debería dar. No es lo mismo decir "con orden arriba y abajo" que "sin orden arriba y abajo".

No sé si está muy claro, si te mareé en alguna parte decime. Y te recuerdo que lo confirmes con alguien que sepa más. Te respondí porque estoy casi seguro de esto (pero ¿qué tan seguro se puede estar de algo en primer año de la carrera?).

[jo0000se]

De hecho todo eso ya lo había pensado... sin embargo fíjate que precisamente la probabilidad es menor, no mayor. Además, fíjate que el denominador que cojo no lo estoy tomando como tu dices, sino usando una 'formulita' que da las formas de coger n elementos de m en m con repetición y sin órden (wikipedia).

(m+n-1 sobre n)   Con el ejemplo mas facil que he comentado al final (trabajar con una baraja de 2 cartas A y B) esto daría 3:
(2+2-1 sobre 2) == (3 sobre 2) == 3   -->  AA, AB y BB

Estamos de acuerdo en que el único caso favorable es AB (y BA, pero al trabajar sin orden estos dos no son ditinguibles), de modo que la probabilidad sería 1/3.

Hecho del primer modo, en el que los dos estamos de acuerdo, la probabilidad es de 1/2.     

No acabo de entender por qué da diferente...

De todos modos gracias   

[pepito]

Perdón, quise decir muchísimo menor (lo corregí en el original). Y da menor por esto que te digo, no sé qué más se puede agregar.

[leonardo09]

Hola querido amigo:

PROBLEMA: probabilidad de coger 9 cartas diferentes en una baraja de 54 cartas con re emplazamiento. en donde las cartas a tomar son \( p=9 \), y la cantidad total es \( n=54 \)

La probabilidad se define como la razón de casos favorables y los casos totales (verdad).

Bueno, para obtener los casos totales:
Importa el orden en que estén las cartas: No. Por lo tanto son combinaciones
Se pueden repetir los objetos en los casos totales: Si. Por lo tanto son combinaciones con repetición

Finalmente Casos totales: \( CR_n^p=\displaystyle\binom{n+p+1}{p}=\displaystyle\binom{64}{9} \)

Bueno, para obtener los casos favorable:
Importa el orden en que estén las cartas: No. Por lo tanto son combinaciones
Se pueden repetir los objetos en los casos totales: No. Por lo tanto son combinaciones sin repetición

Finalmente Casos favorable: \( C_n^p=\displaystyle\binom{n}{p}=\displaystyle\binom{54}{9} \)

Por último podemos calcular la probabilidad:

\( P=\displaystyle\frac{\displaystyle\binom{54}{9}}{\displaystyle\binom{64}{9}}=0.1930945313 \)

Saludos

[pepito]

Pd: revisé la fórmula que decías que sacaste de Wikipedia (sólo la encontré en inglés). Me gustó mucho la explicación que dan. Es bueno saber esto.

[Luis Fuentes]

Hola

 La clave está en que para poder usar:

\(  Probabilidad = \dfrac{\mbox{casos favorables}}{\mbox{casos totales}} \)

 cada uno de los casos que se está considerando deben de ser equiprobables (tener la misma posibilidad de salir).

 En tu segunda modelización del problema (donde utilizas las combinaciones con repetición, el que usó leonardo09 y que está mal) estás considerando que el caso en que, por ejemplo, las nueve cartas son oros \( 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \) tiene las mismas probabilidades que las nueve cartas iguales al as de oros. Esto es falso, porque hay muchas formas distintas de obtener oros \( 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \) dependiendo del orden en que salen las cartas, mientras que hay una única forma de obtener nueve veces el as de oros.

 Para entenderlo mejor pensemos en el problema de tirar dos monedas y estudiar la probabilidad de que salgan dos caras.

 I) Uno podría decir:

 Casos posibles = dos caras, dos cruces o cara y cruz

 Casos favorables = dos caras

 Probabilidad = 1/3

 II) O bien  considerar distinguibles las monedas:

 Casos posibles = cara-cara, cara-cruz, cruz-cara, cruz-cruz

 Casos favorables = cara-cara

 Probabilidad = 1/4

 Lo correcto es el razonamiento (II). El problema es que en la modelización (I), se consideran como sucesos equiprobables sucesos que en realidad no lo son. Hay el doble de probabilidad de que salga caray cruz que dos caras.

 Si entiendes el ejemplo de las monedas, entenderás el de las cartas.

Saludos.

P.D. Une ejemplo más "bruto" sería el siguiente. Uno podría pensar el calcular la probabilidad de que me toque la lotería:

 Casos totales = me toca, no me toca
 Casos favorables = me toca

 Probablidad = 1/2

 ¡Bendita fortuna si esto fuese así! 

[pepito]

P.D. Une ejemplo más "bruto" sería el siguiente. Uno podría pensar el calcular la probabilidad de que me toque la lotería:

 Casos totales = me toca, no me toca
 Casos favorables = me toca

 Probablidad = 1/2

 ¡Bendita fortuna si esto fuese así! 

Jajaja muy bueno.

[del1988]

es verdad:-)