Una sucesión monotona no decreciente y acotada superiormente es convergente.
Por cálculo directo vemos:
x0=0
x1=1
x2=7/5
x3=37/23
Veamos que la sucesión dada es monótona no decreciente por inducción:
- x1=1>0=x0
- Supongamos que xn>xn-1 entonces:
xn+1=(6+xn)/(6-xn)>(6+xn-1)/6-xn-1)=xn
De nuevo por inducción probaremos que xn<2 para todo n:
- x0=0<2
- Supongamos xn<2 entonces:
xn+1=(6+xn)/(6-xn)<8/4=2
Así pues la sucesión dada es convergente, digamos a un límite L.
Entonces es: L=(6+L)/(6-L) con lo que L2-5L+6=0 de dónde L=3 ó L=2 y como xn<2 para todo n debe ser L=2
Un saludo a todos y feliz año con retraso