[teeteto]

Una sucesión monotona no decreciente y acotada superiormente es convergente.

Por cálculo directo vemos:
x0=0
x1=1
x2=7/5
x3=37/23

Veamos que la sucesión dada es monótona no decreciente por inducción:
 - x1=1>0=x0
 - Supongamos que xn>xn-1  entonces:
    xn+1=(6+xn)/(6-xn)>(6+xn-1)/6-xn-1)=xn

De nuevo por inducción probaremos que xn<2 para todo n:
 - x0=0<2
 - Supongamos xn<2 entonces:
    xn+1=(6+xn)/(6-xn)<8/4=2

Así pues la sucesión dada es convergente, digamos a un límite L.
Entonces es:  L=(6+L)/(6-L) con lo que L2-5L+6=0 de dónde L=3 ó L=2 y como xn<2 para todo n debe ser L=2

Un saludo a todos y feliz año con retraso

[Nicolas Bourbaki]

HOLA!!

Sólo un par de apuntes al problema del mes y a la proposición que usas para empezar el problema... la primera puntualización al respecto del problema es lo fácil que era... o eso me ha parecido... la verdad es que me ha sido útil para los examenes que empiezo en breve (brevísimo tiempo ...).

La segunda es que bastaba con suponer que una sucesión monótona y acotada es convergente...

ESO ES TODO!!

[teeteto]

Es cierto que basta suponer que monotona+acotada= convergente.
Pero yo demuestro menos que eso pues es menos lo que necesito...me basta de hecho con que sea acotada superiormente. La acotación inferior que en este caso sí que se da no es necesaria en el caso (como el que estamos) de que la sucesión sea creciente.