Las reglas del ajedrez están estipuladas para que el juego sea finito.
Cada jugada comprende 2 movimientos, uno por cada contendiente.
El reglamento dice que si han transcurrido 50 jugadas seguidas sin que haya habido capturas de piezas, ni movimientos de peones, entonces el juego termina (en tablas, claro).
Eso nos da el límite máximo de jugadas por jugador.
Hagamos de cuenta que los jugadores retrasan los movimientos de sus peones 50 jugadas. Para hacer más exagerado el recuento, hagamos de cuenta que los peones pueden avanzar libremente sin capturarse o bloquearse en el camino (no estoy haciendo nada demasiado extraño, sólo cambio un poco el juego para obtener una cota superior en la cantidad de movimientos).
Como los peones deben recorrer 7 casillas hasta coronar, y hay en total 16 peones, y retrasando su accionar de modo que den un pasito sólo tras 100 movimientos de ambos bandos, obtenemos 11200 movidas.
A partir de ahí, para que el juego no se termine, debe haber capturas de piezas.
Como los reyes no son capturables, tenemos 30 piezas a capturar, y retrasando 100 movimientos cada captura, llegamos a 3000 movimientos.
En total, el juego no puede tener más de 11200+3000=14200 movimientos.
Ahora veamos la cantidad posible de movidas por cada uno de esos N = 14200 movimientos.
De nuevo, voy a estimar usando una cota superior.
La situación en que se produce la mayor cantidad posible de movidas para un jugador, es cuando tiene piezas con la mayor movilidad posible. Esto pasa si se han coronado los 8 peones convertidos en reinas, de manera que vamos a suponer que tenemos 9 reinas, 2 torres, 2 alfiles, 2 caballos, y un rey.
Voy a hacer de cuenta que las piezas pueden atravesarse unas a otras y que tienen la mayor movilidad en el tablero de que son capaces. Esta situación no es realista, pero ofrece una cota superior, que por lo menos es correcta.
La cantidad real de movidas será siempre menor que lo que voy a calcular ahora.
Una reina tiene en el centro del tablero 28 movidas posibles.
Una torre tiene 14, un alfil 13, un caballo 8, un rey 8, y un rey que puede enrocar corto o largo, 2 movidas más.
Así el máximo de movidas posibles en una jugada está acotado por el número M = 28 . 9 + 14 . 2 + 13 . 2 + 8 . 2 + 8 + 2 = 332.
El máximo posible de combinaciones totales de movidas en una partida de ajedrez está acotada por el número
T = MN = 33214200
Para tener una idea de qué tan grande es este número, calculo el logaritmo en base 10 de 332, que me da:
L = log10 332 = 2.5211380837040362942602381414762
Multiplicando eso por 14200, nos queda ahora que
T = 10L . 1400 = 1035800.16...
Un número de 35800 cifras, pero finito.
La cantidad real máxima de movidas posibles en un juego de ajedrez seguramente es mucho menor que ese número,
puesto que las estimaciones que he usado acotan exageradamente por arriba.
En las primeras jugadas por ejemplo, esa cantidad de 332 es muy exagerada. No debe haber más de 50 o 60 movidas posibles en las jugadas de apertura.
Para lograr el máximo de 9 coronaciones por jugador, es inevitable que haya en el medio capturas de otras piezas.
Esto reduciría un poco el valor de M. Pero oscilaría entre 11200 y 14200, puesto que los movimientos de retraso debido a capturas de piezas eran sólo 3000, comparados con los 11200 asociados a los movimientos de peones hasta su coronación.
Fijémonos tambiién que un peón tiene como máximo 4 jugadas posibles, que es menor que las 28 posibles que tendría ya convertido en reina. O sea que mientras no es reina, la cota superior que dí, sirve.
Incluso, en el momento de coronar, el peón tiene 3 posibilidades de movimiento antes de llegar a la última línea, y en cada una hay 6 posibilidades distinta de coronación, dando un total de 18 elecciones posibles. Este número es aún menor que las 28 posibles movidas de una reina, así que la cota superior que dí, aún sirve en este caso.
Dado que para llegar a coronar todas esas reinas, alguna pieza debe haber sido capturada en el camino, el número de N = 332 debe ser más chico. Suponiendo que sólo hemos capturado un caballo, ese número se reduciría en 8.
Las jugadas sin reina tienen un valor más chico que N de movidas, que las jugadas con reina (o sea, peones que coronaron en reinas).
Hay que ponerse a hacer análisis más detallados a fin de seguir reduciendo las cotas.
Saludos
