[lfqm]

Que tal, por mas que le doy vueltas a este problema no se me ocurre como resolverlo con los datos que me dan, ¿me ayudan?
El problema dice:

Un protón en su marco de referencia le toma 5 min. cruzar la vía láctea, la cual tiene un diámetro de 5 años luz
¿Cuanto tiempo le tomaría al proton cruzar la vía láctea medido por un observador en el marco de referencia de la vía láctea?

[sapato]

Hola.
Tienes dos sistemas de referencia inerciales, el de un observador en reposo en la vía lactea y el del protón.
El protón en su sistema de referencia tarda 5 min medidos en su sistema de referencia en cruzar la vía lactea, por lo cual este es el tiempo propio \( \Delta \tau \). Lo único que tienes que hacer es aplicar la formula \( \Delta t'=\gamma \Delta \tau \).
Saludos, y lo mas importante para resolver problemas en relatividad es ubicar tus sistemas de referencia.

[lfqm]

¿Pero como obtengo \( \gamma \)?
Necesito la velocidad de uno de los sistemas de referencia con respecto al otro, pero el problema no la especifica y no se me ocurre como obtenerla a partir de los datos que me dan.

[argentinator]

La velocidad del protón relativa a la galaxia... debieras tomarla como la velocidad del protón que suele aparecer en libros o tablas, o sea, la que se mide en un laboratorio terrestre.
No es lo mismo, pero creo que tomarlo así estaría bien.

[lfqm]

Pero no hay una velocidad única del protón, ¿cual sería buena tomar?
No creo que la solución esté por ese camino.

[sapato]

No te angusties.
Tenemos que
\( \delta t'=\gamma\Delta\tau \)
pero \( \delta t'=\displaystyle\frac{l}{v} \) con \( l=5añosluz \) y \( \Delta \tau =5min \)
entonces
\( \displaystyle\frac{l}{v}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{1-v^2/c^2}}\Delta \tau \)
Elevas al cuadrado, y no es tan complicado despejar \( v \).
Espero te sirva.

[sapato]

Perdon, me equivoqué, es \( \Delta t' \) no \( \delta t' \)

[lfqm]

Claro!!! Que obvio se ve cuando ya lo sabes
Gracias

[Richard R Richard]

En su propio marco de referencia el protón, no puede avanzar 5 años luz en 5 minutos, puesto que en ese marco de referencia a la luz le lleva 5 años en cruzar la galaxia y nada viaja más rápido que la luz, algo no cuaja en los datos

para mí como la vía láctea tiene un diámetro de 105700 años luz , la contracción de longitudes revela el factor gamma \( \gamma=\dfrac{105700}{5}=21140 \)

para saber la velocidad del protón usamos la fórmula del factor de Lorentz

\( \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}\quad \to\quad v=c\sqrt{1-\dfrac{1}{\gamma^2}}=299.792.457,664m/s  \) solo 34 cm/s menos que la velocidad de la luz

Ahora el tiempo que le toma al protón en cruzar los \( 105700 años \ luz  \) a esa velocidad  es \( \Delta t'=\dfrac{l'}{v}=\dfrac{105700al 365.25d/a 24h/d 3600s/h299792458m/s}{365.25d/a 24h/d 3600s/h299792457.664m/s}= 105700.000118 \)  1 hora, 2  minutos y 13 segundos más que 107500 años.


Otra forma de interpretarlo sería suponer a la via lactea de diametro 5 años luz  para el observador , y 5min se toma para cruzar el fotón en su SR propio con lo cual salen otros resultados , no muy diferentes a 5 años y una pequeña fracción. Sería un procedimiento similar al de sapato , pero con

\( \displaystyle\frac{l' }{v}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{1-v^2/c^2}}\Delta \tau \)

Pero no son datos y resultados realistas.

\( v=\dfrac{c}{\sqrt{\dfrac{c^2\Delta^2 \tau}{l'^2}+1}}^=299792457.9994m/s \) medio milimetro menos por segundo que la velocidad de la luz, por lo que el tiempo para aravezar la vía lactea de es apenas segundos extras a 5 años.