Autor Tema: Problema Diciembre 2003

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19 Diciembre, 2003, 00:13
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jjgg

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Hola a todos:

  Apenas me inscribo a este rincon matemático y el primer problema que he tratado de resolver es el de diciembre del 2003. Según revise no han publicado una respuesta a éste. En caso de que ya lo hayan publicado la solución espero no sea molesta la que propongo :D

  Agrego al mensaje un archivo .jpg con la solución
  GRACIAS

Si alguien sabe como puedo poner un archiovo Attach, espero me conteste. Porque al tratar de hacerlo me envía un error de que no existen un directorio en /home/http ....
No puedo adjuntar el mensaje, por tanto si alguien lo quiere ver antes de que lo pueda enviar me puede escribir a jgg@ciencias.unam.mx

19 Diciembre, 2003, 13:18
Respuesta #1

teeteto

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Hola!
Bueno, mientras jjgg consigue adjuntar su solución voy a dar yo la mia:

Supongamos en primer lugar que 0 no es raíz del polinomio dado y sean x e y sus dos raices naturales. Entonces debe ser xy=k
                                                x+y=k-1
Y por tanto igualando k de las dos expresiones tenemos xy=x+y+1 por lo que reducimos el problema a encontrar las soluciones naturales de la ecuación anterior.
despejando, y=x+1/x-1 por lo que si y es natural debe ser x-1|x+1 y reducimos el problema a encontrar los naturales n tales que n|n+2 que es trivial comprobar que solo es posible para n=1,2
n=1 -> x=2, y=3 -> k=6
n=2 -> x=3, y=2 -> k=6

Por  otro lado si x=0 es raíz debe ser k=0

En resumen hemos probado que el polinomio dado tiene raices naturales si y sólo si k=0 ó 6.

NOTA: No se si estarán deacuerdo o no pero yo considero que el 0 es natural.

Saludos!
Debemos saber...sabremos (David Hilbert)

19 Diciembre, 2003, 16:53
Respuesta #2

jjgg

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Hola:
   Coincido con la solución al problema que propone teeteto. Pero la forma no me parece muy clara. No se como acostumbren a presentar por   aca las soluciones a los problemas pero creo que agregaré la que tenia pensada en texto plano para esperar sus obesrvaciones.

Se considera la función polinomial P(x)=x^2+(1-k)x+k Hallar todos los valores naturales de P para los cuales las raíces de P son naturales.
El polinomio P es de segundo grado por tanto las raíces están dadas por:  x=(-(1-k)+/-sqrt((1-k)^2-4*1*k))/(2*1)
Para que las raíces sean enteras el resultado del radical debe ser entero: Por tal motivo se debe cumplir:
(1-k)^2 - 4*1*k = 1-2*k-k^2-4*k
k^2-6k+1=y^2
k^2-6k+1 -y^2 = 0
Donde y es una variable entera
Para que éste segundo polinomio tenga soluciones enteras se debe cumplir que el determinante tenga raíz entera. El determinante de la ecuación es:
(6)^2 - 4*1*(1-y^2)=32+4*y^2=4(8+y^2)
La raíz es:
sqrt(4*(8+y^2)) = 2*sqrt(8+y^2)
Por tanto lo que esta dentro del radical debe ser un entero elevado al cuadrado. Digamos que z es ese entero entonces:
8 + y^2 = z^2
Recordando que y también es entero. La ecuación hace ver que y y z son todos los enteros cuyos cuadrados tienen diferencia de 8.
Entonces la diferencia de los cuadrados de dos números consecutivos esta dada por
(y+1)^2 - y^2 = y^2+2*y+1-y^2 = 2*y+1
que es una función creciente. Por tanto su valor mínimo es de 3 (en caso de 1 y 4) y como son impares es imposible que la diferencia de dos cuadrados consecutivos sea de 8.
Si tomamos números que se llevan por 2 unidades la diferencia entre los cuadrados de estos es:
(y+2)^2 - y^2 = y^2+4*y+4-y^2 = 4*y+4
que es igual con 8 si y = 1. Lo que quiere decir que los números buscados son 1 y 3 (que sus cuadrados son 1 y 9 y su diferencia es de 8 )
En el caso general de la diferencia de los cuadrados de números que se llevan por n será:
(y+n)^2 - y^2 = y^2+n*y+n^2-y^2 = 2ny+n^2
y para que esta diferencia sea 8 se debe satisfacer que:
n(2y+n)=8
Como n y y son números enteros y los únicos factores de 8 son 1,2 y 4 entonces
Si n = 1 entonces 2y+1=8 y y no es un número entero, por tanto n no puede ser 1
Si n = 2 entonces 2y+2=4 y y = 1 que es el caso que ya habíamos encontrado anteriormente
Si n = 4 entonces 2y+4=2 y y = -1 en donde el otro entero es 3. Haciendo lo mismo para n = -1, -2 y -4 obtenemos y =-3.
Por tanto el único valor posible para y es 1 o menos uno, pero es totalmente equivalente porque se usa el cuadrado y además entre y y z, y es el menor.
Por tanto las ecuaciones posibles para k son: k^2-6k+1-1=0  y
k puede ser 0 o 6. QED

Esperando sus comentarios y Gracias por la respuesta

20 Diciembre, 2003, 09:24
Respuesta #3

teeteto

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Hola!
Bueno eso de clara es una cosa muy subjetiva, no?...de todos modos lo que si hay que admitir que mi prueba es mucho mas corta.
Si tienes alguna duda en particular sobre mi demostración puedes preguntarme por aqui o en mi correo electronico (sale en mi perfil) y tratare de aclararlo lo mejor posible.
Por lo demás estoy totalmente deacuerdo con tu metodo.
Saludos
Debemos saber...sabremos (David Hilbert)

23 Diciembre, 2003, 21:16
Respuesta #4

jjgg

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Hola:

   Tienes razón en que tu demosntración es más corta. Lo que pasaba es que de entrada no entendía lo de que la suma de las racies (de una ecuación ax^2+bx+c=0) es igual a c/a y el producto igual a -b/a.

   Seguimos por aqui viendo problemas y cosas simpaticas

   Adiós

24 Diciembre, 2003, 09:41
Respuesta #5

teeteto

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Ok
De hecho hay relaciones similares para las raices de polinomios de cualquier grado. Son las fórmulas de Cardano-Viète que expresan los coeficientes del polinomio como expresiones simétricas en las raices.
Hasta otra
Debemos saber...sabremos (David Hilbert)

26 Diciembre, 2003, 14:11
Respuesta #6

MagnusBarfod

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Me da la impresion de que k=0 no es solucion, porque en ese caso x=0 es raiz del polinomio y el cero no es natural.

26 Diciembre, 2003, 19:53
Respuesta #7

teeteto

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Eso de que el cero no es natural puede dar lugar a ámplias discusiones...yo desde luego lo considero natural.
¿Por que no lo consideras natural?
Debemos saber...sabremos (David Hilbert)

08 Enero, 2004, 19:49
Respuesta #8

MagnusBarfod

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No se. Tal vez porque me parece natural comenzar a contar desde uno y no desde cero.

Para definir a los numeros naturales se empieza por el uno y luego los demas salen agregandole uno, y repitiendo inductivamente.

Pero todo esto son puras especulaciones mias (o mejor dicho prejuicios).

Ademas no me gusta el cero, siempre trae problemas, sino preguntenle a los anillos que no son dominios.

Magnus

31 Enero, 2004, 09:02
Respuesta #9

teeteto

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Bueno, yo no defino así los númros naturales. Partiendo de la teoría de conjuntos el cero se define como el conjunto vacio; el uno como el conjunto que posee como único elemento al conjunto vacío; el dos como el conjunto que posee como elementos al vacío y al conjunto formado por el vacío...y así sucesivamente.
0=vacío
1={vacío}={0}
2={vacío,{vacío}}={0,1}
.
.
n+1={0,1,2,...,n}

En cuanto a lo de los divisores de cero...bueno...si son la sal de la vida...pero eso ya va en gustos  ;D

P.S.:
Que en tus ejércitos militen el oro y la tempestad, Magnus Barfod.
Que mañana, en los campos de mi reino, sea feliz tu batalla.
Que tus manos de rey tejan terribles la tela de la espada.
Que sean alimento del cisne rojo los que se oponen a tu espada.
Que te sacien de gloria tus muchos dioses, que te sacien de sangre.
Que seas victorioso en la aurora, rey que pisas a Irlanda.
Que de tus muchos días ninguno brille como el día de mañana.
Porque ese día será el último. Te lo juro, rey Magnus.
Porque antes que se borre su luz, te venceré y te borraré, Magnus Barfod.


Debemos saber...sabremos (David Hilbert)

31 Enero, 2004, 12:36
Respuesta #10

hache

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Con respecto a la PS. Deploro el día que dejé los volumenes de las Obras Completas del maestro en mi biblioteca de Buenos Aires.
I would never die for my beliefs because I might be wrong (Bertrand Russell)

03 Febrero, 2004, 18:02
Respuesta #11

MagnusBarfod

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En cuanto al PS. Buen trabajo (me descubriste).

03 Abril, 2004, 22:30
Respuesta #12

asp

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Hola

Me he encontrado con esta web y su foro: Felicidades por la idea.
En cuanto a lo que se trata en este hilo en particular, me gustaría hacer dos puntualizaciones:

1) La discusión sobre si el cero es natural o no ya viene de lejos y básicamente es una cuestión axiomática, con la teoría de conjuntos el cero es natural (como bien ha indicado teeto), pero Peano en su axiomática no lo incluía. Ambas son consistentes y completas y dan lugar a conjuntos de números que se diferencian en tener o no elemento neutro para la suma. Las posturas reflejadas en este hilo sobre la "naturalidad" del cero no son más que un reflejo de las dos axiomáticas que son a su vez el reflejo de las discusiones que hubo en su momento sobre la posibilidad de que "existiera" un número para medir "la nada" o el llamado conjunto vacío.

2) De todas formas creo que en este ejercicio no debiera haber surgido esta discusión porque k=0 no es solución posible del problema ya que entonces la ecuación sería  x^2+x=0  y sus soluciones x=0  y  x=-1   no son las dos naturales.

Saludos