Buenas, estaba resolviendo el siguiente problema de combinatoria, quisiera que me dijeran si es la resolución correcta.
Tengo 7 bolitas negras idénticas, 5 bolitas blancas numeradas y 6 cajas numeradas.
La pregunta es, ¿De cuántas maneras puedo ubicar las bolitas de modo tal de que en cada caja hay exactamente dos bolitas?
O sea, del mismo color o de distinto color.
Luego pensé que podía dividir en tres casos disjuntos y luego sumarlos:
Caso A, 2 bolitas negras en exactamente una caja
Luego el cálculo es, poner una bolita negra en cada caja. Luego me sobra una bolita negra y cinco numeradas, pero a los efectos de saber sus permutaciones son seis bolitas distinguibles.
Luego el cálculo es 6! para este caso.
Caso B, 2 bolitas negras en exactamente 2 cajas
\( \displaystyle\binom{6}{2} \displaystyle\binom{4}{3} \frac{5!}{2} \)
De las 6 cajas selecciono dos y las lleno con 2 bolitas negras.
Luego de las 4 cajas restantes elijo 3 y les pongo una bolita.
Finalmente permuto las 5 bolitas numeradas sabiendo que estoy contando dos veces la permutación entre las dos bolitas numeradas que están en la misma caja.
Caso C, 2 bolitas negras en exactamente 3 cajas
\( \displaystyle\binom{6}{3} \displaystyle\binom{6}{2} \displaystyle\binom{4}{2} \displaystyle\binom{2}{2} \)
De las 6 cajas selecciono 3 y les pongo 2 bolitas negras a cada una.
Luego me quedaron determinadas la elección de las tres cajas restantes, sabiendo que ahí debo ubicar 6 bolitas distintas: las 5 blancas numeradas y la negra que es distinguible de las otras 5.
Entonces, de las 6 elijo dos y las pongo en una caja.
Luego de las 4 restantes elijo dos y las pongo en la siguiente caja.
Y las dos restantes ya no las elijo, pero bueno, siguiendo mi lógica sería el combinatorio 2 2 que es 1.
Es correcto mi razonamiento, estoy solapando casos? Contando de más , contando de menos?
Gracias
