Lo que sigue forma parte de una "demostración" del teorema de Fermat-Wiles con herramientas análogas a las disponibles por el propio Fermat. (método del descenso infinito). Espero comentarios para su depuración.
DESARROLLO
Sean a, b y c números enteros y p un primo impar no divisor de (a+b). Supongamos que se cumple:
\( a^p + b^p = c^p \) (1)
Si ese es el caso, también se cumplirá trivialmente:
\( c^p - b^p = a^p \) y \( c^p - a^p = b^p \) (2)
Independientemente de lo anterior, se ha demostrado que con las hipótesis establecidas se verifica:
\( a^p\pm{} b^p = (a\pm{})(2mp + 1) \) (3)
dónde los dos factores del miembro de la derecha son primos entre sí.
Teniendo en cuenta (3), la ecuación (1) quedaría:
\( a^p+b^p = (a+b)(2mp+1)=c^p=(c_1)^p*(c_2)^p \) con \( (a+b)=(c_1)^p \) y \( (2mp+1) = (c_2)^p \) (4)
Y análogamente:
\( c^p - b^p = (c - b) (2hp + 1) = a^p = (a_1)^p * (a_2)^p \) (5)
\( c^p - a^p = (c - a) (2kp + 1) = b^p = (b_1)^p * (b_2)^p \) (6)
Sumando las dos últimas ecuaciones resultará:
\( a^p + b^p = (a_1)^p(2hp+1)+(b_1)^p(2kp+1)= 2[h*(a_1)^p+k*(b_1)^p]p+[(a_1)^p+(b_1)^p] \) (7)
Si comparamos esta ecuación con (4), tendremos:
\( a^p+b^p = 2[h*(a_1)^p + k*(b_1)^p]p + [(a_1)^p + (b_1)^p] = 2(a + b)mp + (a + b) \) (8)
e igualando coeficientes en la indeterminada p:
\( [(a_1)^p + (b_1)^p] = (a + b) = (c_1)^p \) (9)
Con lo que hemos llegado de nuevo a la ecuación (1) pero con valores estrictamente menores; como el proceso no puede continuar indefinidamente porque hemos dicho que a,b y c son números enteros, tenemos que concluir que la hipótesis de partida era errónea y, en consecuencia se cumple lo dicho por Fermat.
Saludos
José Antonio
