[pilarin]

Hola, tengo una duda con respecto al siguiente problema:

1. Se supone que la rentabilidad de un producto ofrecido por una entidad bancaria es una variable aleatoria que tiene como función de densidad:

\( f(x) = \left \{ \begin{matrix} k(x^2 - 1) & \mbox{si }{ 0 \le x \ge 2}
\\ 0 & \mbox{en otro caso}\end{matrix}\right \) 

a) Calcular el valor de k para que f(x) sea función de densidad.
b) Calcular la función de distribución
c) La probabilidad de que la rentabilidad sea : P (x> 1,5)


Este ejercicio es de un exámen de estadística, y la solución que nos han dado es la siguiente :

f(x) no puede ser función de densidad para ningún valor de k, por lo tanto el problema carece de sentido.


Si alguien pudiera explicármelo se lo agradecería.


Saludos

 

[Dogod]

Hola, lo que tines que verificar ahí, es si para ningún valor de k, la integral:


\( \displaystyle\int_{0}^{2}k(x^2 - 1). dx = 1 \),

creo que puedes calcular la función de distribución, integrando. La probabilidad de que la renta sea >1.5 es la integral desde 1.5 hasta infinito de la función... de densidad, pero, no dicen que carece de sentido?

bueno,
un saludo

[Dogod]

Te queda;


\( k\displaystyle\int_{0}^{2}(x^2 - 1). dx = 1 = k\displaystyle\frac{x^3}{3}-x \), y evaluandio entre 0 y dos, queda:



\( k\displaystyle\frac{2}{3} \), con lo cual, creo, para que de 1, \( k = \displaystyle\frac{3}{2} \)... o sea que sí hay un k que cumple los valores, tú qué piensas, qué has hecho tú?


un saludo

[pilarin]

Hola, yo he hecho lo mismo que tú.
De hecho en todos los ejercicios que tenemos en el libro de este estilo núnca nos había pasado eso.
He calculado la integral con los línmites dos y cero, y me sale k2/3, como para que sea función de densidad esa integral debe valer uno, lo he igualado a uno y despejando k me da k=3/2.

Bueno, pues habrá que pensar que es un error de quien ha corregido el exámen, no?

Mira la explicación que he encontrado es:
f(x) no puede ser función de densidad para ningún valor de K. En efecto, si k>o, f(x) sería negativa en el intervalo [o,1]; si k<0, f(x) sería negativa en el [1, 2]; sin k=0, f(x)=0.

Bueno pues lo único que veo claro de esta explicación es lo de si k=0, que efectivamente f(x)=o por lo que la integral no va a ser uno.
Pero por ejemplo si k>0 por qué va a ser f(x) negativa ??

Saludos y gracias.

[Fernando Revilla]

Mira la explicación que he encontrado es: f(x) no puede ser función de densidad para ningún valor de K. En efecto, si k>o, f(x) sería negativa en el intervalo [o,1]; si k<0, f(x) sería negativa en el [1, 2]; sin k=0, f(x)=0.

Cierto, si \( f \) es función de densidad, necesariamente \( k=3/2 \). Ahora bien, para ese valor, \( f<0 \) en \( [0,1) \). En consecuencia \( f \) no es función de densidad para ningún \( k \).

Saludos.