Autor Tema: El espacio donde viven los fractales

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24 Enero, 2009, 02:20
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enloalto

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Hola a todos, por favor estoy leyendo el libro "Fractals Everywhere" de Michael Barnsley y en la parte del espacio de fractales tengo la siguiente definicion:

Sea \[ (X,d) \] un espacio metrico completo. entonces \[ H(X) \] denota el espacio cuyos puntos son los subconjuntos compactos de \[ X \] diferentes del vacio.

y tengo los siguientes ejercicios.

1) Si \[ x,y\in{H(X)} \], entonces \[ x\cup{y}\in{H(x)} \], muestre que \[ x\cap{y} \] no necesariamente pertenece a \[ H(x) \].

2) ¿Cual es la diferencia entre un subconjunto de \[ H(x) \] y un subconjunto no vacio compacto de X?
En la 1 no tengo problemas para la union, pero como veo lo de la interseccion, y en la dos, creo que un subconjunto de H(x) es un conjunto de subconjuntos compactos no vacios de X, mientras que un compacto no vacio de X es un elemento de un subconjunto de H(X).

Muchas gracias
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

24 Enero, 2009, 06:11
Respuesta #1

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
Considera \[ (\mathbb{R},T_u) \]. Sean \[ x=[0,1],\;y=[2,3] \]. Entonces \[ x\in{H(\mathbb{R})} \], \[ y\in{H(\mathbb{R})} \] y sin embargo \[ x\cap{y}=\emptyset\not\in{H(\mathbb{R})} \]. La diferencia a la que se refiere el problema es que un subconjunto no vacío compacto de \[ X \] es un elemento de \[ H(X) \] y un subconjunto de  \[ H(X) \] es un elemento de \[ \mathcal{P}(X) \] (partes de \[ X \]).

Saludos.