[enloalto]

Hola a todos, por favor estoy leyendo el libro "Fractals Everywhere" de Michael Barnsley y en la parte del espacio de fractales tengo la siguiente definicion:

Sea \( (X,d) \) un espacio metrico completo. entonces \( H(X) \) denota el espacio cuyos puntos son los subconjuntos compactos de \( X \) diferentes del vacio.

y tengo los siguientes ejercicios.

1) Si \( x,y\in{H(X)} \), entonces \( x\cup{y}\in{H(x)} \), muestre que \( x\cap{y} \) no necesariamente pertenece a \( H(x) \).

2) ¿Cual es la diferencia entre un subconjunto de \( H(x) \) y un subconjunto no vacio compacto de X?
En la 1 no tengo problemas para la union, pero como veo lo de la interseccion, y en la dos, creo que un subconjunto de H(x) es un conjunto de subconjuntos compactos no vacios de X, mientras que un compacto no vacio de X es un elemento de un subconjunto de H(X).

Muchas gracias

[Fernando Revilla]

Considera \( (\mathbb{R},T_u) \). Sean \( x=[0,1],\;y=[2,3] \). Entonces \( x\in{H(\mathbb{R})} \), \( y\in{H(\mathbb{R})} \) y sin embargo \( x\cap{y}=\emptyset\not\in{H(\mathbb{R})} \). La diferencia a la que se refiere el problema es que un subconjunto no vacío compacto de \( X \) es un elemento de \( H(X) \) y un subconjunto de  \( H(X) \) es un elemento de \( \mathcal{P}(X) \) (partes de \( X \)).

Saludos.