[andrew79]

en una mesa se van a sentar los representantes de 4 países, Cada país esta represetnado por 2 personas solamente. De cuantas formas distintas se pueden sentar los 8 representantes si solo interesa distinguir sus nacionalidades??
Gracias

[Dogod]

Hola, pongamos que los \( 4 \) países son:

Colombia, Perú, España y Argentina.


A Colombia, y a los demás, a cada uno lo representa un embajador y un ministro:

Entonces, tenemos:

E =embajador, M = Ministro: Se pueden sentar así:

(EM), (ME), los de Colombia, (EM), (ME), los de Perú, (EM), (ME), los de España, y (EM), (ME), los de Argentina,

Dos formas de sentarse por cada país, creo que es así, pero entonces cada país, sino importan el orden en la mesa, se puede sentar de las formas: Col. Perú, Perú Col, etc... es decir de 4! formas.

El problema aquí es cómo sentar a 8 personas en 4 sillas; a no ser que sólo se escoja a uno de los representantes, ellos nos da dos opciones por las 4! formas en que se pueden sentar, es decir:

2(4!) = 48 formas,


intenta hacer a ver.


Un saludo!!

[Fernando Revilla]

En general. dados \( N \) elementos de los cuales \( b_1 \) son de un tipo, ..., \( b_m \) de otro \( (N=b_1+\ldots+b_m) \) siendo los de cada tipo indistinguibles, el número de permutaciones circulares de estos elementos, se demuestra que es:

\( \left(P_c\right)_N^{b_1,\ldots,b_m}=\displaystyle\frac{1}{N}\displaystyle\sum_{d|B}{\dfrac{\left(\phi(d)\cdot{N/d}\right)!}{(b_1/d)!\ldots(b_m/d)!}} \)

En donde: (i) \( B=\textrm{m.c.d.}\left\{{b_1,\ldots,b_m}\right\} \). (ii) \( d \) varía en todos los divisores de \( B \). (iii) \( \phi \) es la función de Euler.

En nuestro caso, \( N=8 \), \( b_1=b_2=b_3=b_4=2 \), \( B=\textrm{m.c.d.}\left\{{2,2,2,2}\right\}=2 \). Los divisores de \( B \) son \( d=1 \) y \( d=2 \) en consecuencia, tenemos dos sumandos:

Para \( d=1 \): \( \left(\phi(1)\cdot{8/1}\right)!=(1\cdot{8})!=8! \). Para \( d=2 \): \( \left(\phi(2)\cdot{8/2}\right)!=(1\cdot{4})!=4! \).

Por tanto: \( \left(P_c\right)_8^{2,2,2,2}=\displaystyle\frac{1}{8}\left(\displaystyle\frac{8!}{2!2!2!2!}+\displaystyle\frac{4!}{1!1!1!1!}\right)=\ldots=318 \).

Saludos.

[andrew79]

gracias por ambas contestaciones especialmente por la de permutaciones circulares, en realidad es un tema que no he revisado bien, pero en el problema es de una olimpíada matemática y como solución da 7!/2!^4 y eso da 315 y no 318, no sé en donde está el problema.
Gracias

[Dogod]

Hola, bueno es que haciendo:


\( \displaystyle\frac{1}{8}\left(\displaystyle\frac{8!}{2!2!2!2!} = 315 \), que según tu libro es la respuesta correcto, pero me gusta´ría que Phidias nos explicara por qué así sí da lo del libro....



Este otro ejercicio, también son permutaciones circulares?

De cuántas maneras se pueden organizar en un entrepaño 3 copias de una novela y una copia de cada una de otras cuatro novelas?






un saludo y gracias