[Kits]

Hola gente,
no sé como hacer este ejercicio:

Sea \( f:\,\mathbb{R}^3\longrightarrow{\mathbb{R}^3} \) una afinidad del espacio afín \( \mathbb{R}^3 \) tal que deja fijos los puntos del plano \( \pi:\,x+z=1 \) y que cumple \( f\left(0,0,0\right)=\left(0,-3,0\right) \), demostrar que \( f \) actúa como una translación sobre los planos paralelos a \( \pi \), y determinar el vector de traslación.

Supongo que, sea \( \pi:\,P+\left<v_1,v_2\right>\mbox{,}\;P\in{\mathbb{R}^3} \), habrá que ver que para todo \( \pi' \) paralelo a \( \pi \), \( \exists{u\in{\left<v_1,v_2\right>}} \) tal que

\( f\left(Q\right)=Q+u\quad\forall{Q\in{\pi'}} \)

Pero no sé cómo aplicar esto... 

Muchas gracias por la ayuda y saludos.

[Kits]

Otra cosa que observo es que hay un plano paralelo a \( \pi \) que pasa por el punto \( \left(0,0,0\right) \).
Por tanto si es verdad que ahí se comporta como una traslación, el vector que da la dirección será

\( v=\left(0,-3,0\right) \)

y de hecho es cierto que \( v\in{\left<v_1,v_2\right>} \) pero me asalta la duda de si sería posible tener una traslación en ese plano con un vector que no perteneciese a ese subespacio vectorial?

Saludos y gracias otra vez.