Hola
Es sencillo demostrar que cuando las diagonales son perpendiculares la suma de los cuadrados de los pares de lados opuestos son iguales.
Usando el gráfico adjunto, bajo el Spoiler, para la notación, vemos:
(1)
\( b^2=e^2+g^2 \)
(2)
\( d^2=h^2+f^2 \)
(3)
\( c^2=h^2+e^2 \)
(4)
\( a^2=f^2+g^2 \)
\( (1)+(2)=(3)+(4)=e^2+f^2+g^2+h^2 \)
Ahora a partir de la proposición suma de los cuadrados de lados opuestos iguales, siendo los ángulos
\( \widehat{BOC}=\widehat{AOD}=\beta \)
\( \widehat{BOD}=\widehat{AOC}=\alpha \)
las expresiones (1) a (4) se convierten en:
(1.1)
\( b^2=e^2+g^2-2eg\cos \alpha \)
(2.1)
\( d^2=h^2+f^2-2hf\cos \alpha \)
(3.1)
\( c^2=h^2+e^2-2he\cos \beta \)
(4.1)
\( a^2=f^2+g^2-2fg\cos \beta \)
Si \( (1.1)+(2.1)=(3.1)+(4.1)\Rightarrow{(eg+hf)\cos \alpha=(he+fg)\cos \beta} \)(5)
donde en general podemos afirmar que
\( eg+hf\neq{he+fg}\neq{0} \)
nos lleva a una posibilidad para el cumplimiento de (5)
\( \cos \alpha=\cos \beta =0\Rightarrow{\alpha=\beta=\displaystyle\frac{\pi}{2}} \)
De momento es lo que puedo aportar.
Saludos
