[amanda]

Hola a todos,
Ya puse el tema en el foro, pero falta algo, a ver si con el dibujo, alguien me puede aclarar algo
¿ Cuál es la altura, el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular recta si todas las caras son triángulos isósceles y el lado del cuadrado de la base mide 48 cm? Necesito desarrollo y demostraciones.  Muchas gracias

[Jabato]

Hace falta como mínimo un dato más y es la altura de los triángulos isóscelas que forman las caras. El problema general conociendo el lado de la base cuadrada y la altura, respecto a esa base, de los triángulos que forman las caras, sean L y h, el cálculo completo sería sí:

La altura de la pirámide H debe satisfacer la relación:

\( H^2+(L/2)^2=h^2\textsf{   (Pitágoras)}\qquad\longrightarrow{}\qquad H=\sqrt[ ]{h^2-(L/2)^2} \)

y de aquí obtenemos:

El área:    \( S =L^2+2Lh \)                  El volumen:     \( V= \displaystyle\frac{1}{3}L^2H \)

Saludos, Jabato.

[mathtruco]

este mensaje está repetido (aunque en el otro el enunciado no está completo).

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=18012.msg74498#msg74498

y si consideramos que el dibujo está a escala, entonces sí conocemos la altura de los triángulos (sería 5), con lo que se completa la respuesta de jabato.

[aladan]

Hola amanda

El problema no presenta apenas dificultad si entendemos que las marcas en rojo sobre los ejes XY del desarrollo están separadas de manera uniforme, es decir están indicando la ubicación de los puntos:

 

\( (0,0), (\pm{1},0),(\pm{2},0),.....(\pm{7},0), (0,\pm{1}),(0,\pm{2}),....(0\pm{7}) \)

Se reduce a aplicar la escala correspondiente con el dato del lado de la base, en el gráfico tiene 4 unidades de lado, lo que implica que cada unidad en los ejes corresponde a 48/4=12 cm.

Las caras triángulares tienen de base 48 cm y de altura 5(12)= 60 cm

 Ya puedes calcular el área total de la piramide.

Para el volumen necesitas la altura de la piramide, aplicando Pitágoras al triángulo rectángulo que tiene por catetos h ( altura desconocida) y la mitad del lado de la base, 24 cm, y por hipotenusa la altura de cualquiera de las caras triángulares, 60 cm lo tienes resuelto.

Saludos
                                                   

[Jabato]

Bueno la altura de los triángulos, considerando que el dibujo está hecho a escala, es efectivamente 5 unidades pero solo si el lado del cuadrado tiene 2 unidades. Como nos dicen que el lado del cuadrado mide \( L=48cm \), pues entonces la altura de los triángulos mide:

\( h=\displaystyle\frac{5}{2}48cm=120cm \)

El resto se resuelve ya con una calculadora.

Saludos, Jabato.