Hola Liola,
- Llamemos M al conjunto de m tarjetas distintas, y N al conjunto de n personas distintas.
- Suponemos que \( m\geq{n} \)
- Contar de cuántas maneras se pueden repartir m tarjetas dististas entre n personas distintas tal que a cada persona la toque una tarjeta al menos es lo mismo que contar cuántas funciones sobreyectivas hay de M en N. Porque cada tarjeta corresponderá a una única persona y cada persona recibirá al menos una tarjeta.
Ese número de funciones es:
\( n! \cdot{S_2(m,n)}= \displaystyle\sum_{k=0}^n{(-1)^k\displaystyle\binom{n}{n-k}(n-k)^m} \) (1)
, donde \( S_2(m,n) \) se conoce como el número de Stirling de segundo grado y cuenta el número de formas de particionar un conjunto de m elementos en n bloques (por ser una partición, los bloques resultan no vacíos, dos a dos disjuntos y la unión de todos los bloques de la partición es el conjunto de m elementos).
- La expresión (1) se puede probar usando el principio de Inclusión-Exclusión.
- Se multiplica por \( n! \) porque interesa el orden de los bloques de la partición (por ejemplo, no es lo mismo que la persona 1 reciba las tarjetas 4,5,6 a que la persona 3 reciba 4,5,6).
Cualquier duda pregunta.
Saludos,
