Hola, gente.
Necesito que me ayuden a entender a qué se debe la trayectoria de un planeta alrededor de otro.
Según estuve leyendo, la velocidad de un planeta de masa \( m \) alrededor de otro de masa mucho mayor (utilizado como origen de un sistema de referencia inercial) se puede expresar en coordenadas polares, esto es:
\( \mathbf{v} = \mathbf{v}_r + \mathbf{v}_\theta = \dot{r} \ \check{r} + r \dot{\theta} \ \check{\theta} \)
Aquí, \( r \) es la coordenada radial, y \( \theta \) es la coordenada transversal.
Si se calcula el momentum angular del planeta de masa \( m \), se tiene:
\( \mathbf{l}_0 = m r^2 \dot{\theta} \ \check{k} \), con \( \check{k} = \check{r} \times \check{\theta} \)
Como la fuerza de atracción gravitatoria es central, el momentum angular se mantiene constante, por lo que \( m r^2 \dot{\theta} \) es constante. Además, la energía se conserva, pues la fuerza gravitatoria es conservativa. La expresión de la energía es la siguiente:
\( E = \displaystyle\frac{1}{2}m \mathbf{v}^2 + U \)
Utilizando la expresión de \( \mathbf{v} \) en coordenadas polares y la expresión de energía potencial gravitatoria:
\( E = \displaystyle\frac{1}{2} m (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2) - \displaystyle\frac{GMm}{r} \)
Desarrollando, se tiene \( E = \displaystyle\frac{1}{2} m \dot{r}^2 + U_{ef} (r) \), donde \( U_{ef} (r) = \displaystyle\frac{{l_0}^2}{2mr^2} - \displaystyle\frac{GMm}{r} \), cantidad denominada energía potencial efectiva.
Ahora viene la duda: no entiendo por qué si \( E = 0 \) la trayectoria es parabólica, si \( E >0 \) la trayectoria es hiperbólica y si \( E<0 \) la trayectoria es elíptica.
Espero que alguien pueda darme una mano...
