[Eleal]

Sean X,Y variables aleatorias con función de distribución acumulativa conjunta:

\( f(x)=\begin{Bmatrix}{ a^2}&\mbox{ si }& 0\leq{a}\leq{1},\ b>1\\b^2 & \mbox{si}& 0\leq{b}\leq{1},\ a>1\\1 & \mbox{si}& a\geq{1}, \ b\geq{1}\\a^2b^2 & \mbox{si}& 0\leq{b}\leq{1},\ 0\leq{a}\leq{1}\\0 & \mbox{si}& a<0,\vee \ b<0\end{matrix} \)

Se pide hallar la función de distribución acumulativa marginal de X ,\( F_X(x) \), y la función de densidad marginal de X \( f_x(a) \)
____________________
En el libro en donde encontré este ejercicio, hacen lo siguiente:

\( F_X(a)= \displaystyle\lim_{b \to{+}\infty}{F_{XY}(a,b)}=\begin{Bmatrix} a^2 & \mbox{ si }& 0\leq{a}\leq{1}\\1 & \mbox{si}& a>1\end{matrix} \)

con \( F_{XY}(a,b) \) la función de distribución acumulativa conjunta de X e Y.

Y luego hacen:
\( f_x(a)=\frac{dF_{XY}(a,1)}{da}=\begin{Bmatrix} 2a & \mbox{ si }& 0\leq{a}\leq{1}\\0 & \mbox{si}& a>1\end{matrix} \)

Mi duda en concreto está con estas dos igualdades:

\( F_X(a)= \displaystyle\lim_{b \to{+}\infty}{F_{XY}(a,b)} \)  (1)

\( f_x(a)=\frac{dF_{XY}(a,1)}{da} \)  (2)

¿por qué son ciertas? Busqué en el libro y no lo encontré.

Saludos,

[Jota]

A ver si puedo con la primera...

Sea (X,Y) variable aleatoria bidimensional continua con funcion de densidad conjunta \( f(x,y) \)
Por la definición de función de distribución
\( F_{XY}(a,b)=\displaystyle\int_{-\infty}^{a}\displaystyle\int_{-\infty}^{b}f(x,y)dydx \)
Tomando límites cuando b tiende a infinito, tenemos
\( \displaystyle\lim_{b \to{+}\infty}F_{XY}(a,b)=\displaystyle\lim_{b \to{+}\infty}\displaystyle\int_{-\infty}^{a}\displaystyle\int_{-\infty}^{b}f(x,y)dydx=\displaystyle\int_{-\infty}^{a}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dydx \)

Ahora si tenemos en cuenta la definición de la densidad marginal de X,
\( f_{1}(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy \)

tenemos que
\( \displaystyle\lim_{b \to{+}\infty}F_{XY}(a,b)=\displaystyle\int_{-\infty}^{a}f_{1}(x)dx=F_{X}(a) \)

Salio!!! .

La solución que da el libro es incompleta (puesto que la función solución no cumple que \( \displaystyle\lim_{a \to{-}\infty}{F_{X}(a)=0 \)), debería de decir:

\( F_X(a)= \displaystyle\lim_{b \to{+}\infty}{F_{XY}(a,b)}=\begin{Bmatrix}0 & \mbox{ si }& a<0\\ a^2 & \mbox{ si }& 0\leq{a}\leq{1}\\1 & \mbox{si}& a>1\end{matrix} \)


Saludos.

[Eleal]

Muchas gracias por la ayuda Jota.

Saludos,