[Dogod]

Hola a todos, si tengo:


Dos componentes electronicos de un sistema de misiles trabajan en armonía para el exito de todo
el sistema. Sean X y Y la vida en horas de los dos sistemas. La densidad conjunta de X y Y es

\( ye^{-y(1 + x)}, si  x\geq{}0, y\geq{}0 \), y me piden:


La probabilidad de que los componentes duren más de dos horas?


está correcto hacer:


\( 1 - \displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{0}^{2}ye^{-y(1 + x)}dxdy \)??


un saludo y gracias por la ayuda de antemano...

[Jota]

Pues no... No es correcto.

Estás calculando la probabilidad de que ambas componentes tengan tiempo de vida superior a 2:
\( P(X>2,y>2)= \displaystyle\int_{2}^{\infty}\displaystyle\int_{2}^{\infty}ye^{-y(1 + x)}dxdy \)

El complementario de este suceso no es que ambas tengan tiempo de vida inferior o igual a 2, será que al menos una de ellas tenga tiempo de vida inferior ó igual a 2 ( la X, la Y ó ambas).

Lo que tu estas calculando es 1 menos la probabilidad de que ambas tengan vida inferior ó igual a 2.

Intenta calcular la integral que yo planteé que es más fácil que pasar al complementario.

Saludos.

[Dogod]

Hola Jota, creo que ahora (después de una ayudilla) podría calcular la integral.


Basta con eso?


Un saludo y gracias por tu tiempo y gracias de antemano por la nueva respuesta,


un saludo

[Jota]

Si... en realidad basta con eso.

Intenta calcular primero la integral como función de la variable \( x \).  Separa la exponencial en producto de dos exponenciales y ten en cuenta  que \( e^y \) es constante en \( x \) y que la derivada respecto a \( x \) de \( -xy \) es \( -y \) (que aparece salvo el signo en el integrando)

Aplica la definición de impropia de la que hablamos en otro post... y seguro que llegas a esta integral..

Spoiler

\( \displaystyle\int_{2}^{+\infty}e^{-y}dy \)

[cerrar]

Luego integra en la variable \( y \)

y obtienes el resultado final...

Spoiler

\( e^{-2} \)

[cerrar]

Saludos.

[Dogod]

Gracias Jota, que pases bien y disculpa las molestias


un saludo