Hola.
Te lo resuelvo para la media aritmética.
Sean \( x_1,x_2,\ldots,x_n \) los valores muestrales. Sabemos que \( \overline{x}=\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i} \).
Para cada i=1,2,...,n se verifica que \( min(x_1,x_2,\ldots,x_n)\leq{x_i}\leq{max(x_1,x_2,\ldots,x_n)} \)
Si sumamos en i en los tres miembros la desigualdad se mantiene y tenemos \( n\cdot min(x_1,x_2,\ldots,x_n)\leq{\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i}}\leq{n\cdot max(x_1,x_2,\ldots,x_n)} \)
Dividiendo esta expresión por n tenemos \( min(x_1,x_2,\ldots,x_n)\leq{\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i}}\leq{\cdot max(x_1,x_2,\ldots,x_n)} \)
Llegando al resultado: \( min(x_1,x_2,\ldots,x_n)\leq{\overline{x} }\leq{ max(x_1,x_2,\ldots,x_n)} \)
Espero que te sirva.
Saludos.
