[richipunk]

Hola tengo otro problema que no sé como solucionarlo a ver si me ayudan.
En una feria(hace mucho tiempo) comprando un boleto de 10 soles se podia participar en un juego que consistia en lanzar 6 argollas para embocar en una botella de madera. Los premios dej juego eran:
- una bolse de caramelos(valor 1 sol) , al embocar de 1 a 3 argollas
- un tatto de duraznos(valor 4 soles), al embocar 4 argollas
- una caja de cigarrillos (valor 31 soles )al embocar 6 argollas
- una botella de vermouth (valor 17 soles) al embocar 5 argollas
Sabiendo que el jugador promedio tiene una probabilidad de 1/3 de embocar cada una de las argollas y que se venden un promedio de 729 boletos al dia determinar ¿Cuáles son los ingresos netos diarios del dueño del juego?

[Jota]

Hola.

Por cada boleto de los 729 que vende al día, el dueño del juego tendra un beneficio \( Y_i \).

Este beneficio por boleto dependerá del número de aciertos de cada jugador \( X_i \).

El número de aciertos de un jugador, \( X_i \) tiene distribución binomial \( B(10,\displaystyle\frac{1}{3}) \).

La dependencia entre \( X_i  \) e \( Y_i \) es la que sigue:

\( Y_i = \left \{ \begin{matrix} 10 & \mbox{si }X_i\mbox{=0}
\\ 9 & \mbox{si }1\leq{X_i}\leq{3}\\ 6 & \mbox{si }{X_i}=4\\ -7 & \mbox{si }{X_i}=5
\\ -21 & \mbox{si }{X_i}\geq{6}\end{matrix}\right \).

Puedes utilizar la distribución de \( X_i \) para calcular las probabilidades de cada uno de los valores de \( Y_i \) y obtener el valor esperado \( E[Y_i] \).

Finalmente el beneficio medio total, Y, será suma de los 729 beneficios medios independientes (que serán todos iguales entre si).

\( E[Y]=E[Y_1+Y_2+...+Y_{729}]=E[Y_1]+E[Y_2]+...+E[Y_{729}]=729E[Y_i] \).

Espero haberte ayudado.

Saludos.

[richipunk]

Jota a ver si me ayudas a obtener el valor esperado \( [E[Y_i]] . \)

[Jota]

Utiliza la distribución de \( X_i \) para calcular las probabilidades de \( Y_i \).  Por ejemplo,
\( P(Y_i=10)=P(X_i=0)=\displaystyle\binom{10}{0}(\displaystyle\frac{1}{3})^0(\displaystyle\frac{2}{3})^{10}

P(Y_i=9)=P(1\leq{X_i}\leq{3})=\displaystyle\binom{10}{1}(\displaystyle\frac{1}{3})^1(\displaystyle\frac{2}{3})^9+\displaystyle\binom{10}{2}(\displaystyle\frac{1}{3})^2(\displaystyle\frac{2}{3})^8+\displaystyle\binom{10}{3}(\displaystyle\frac{1}{3})^3(\displaystyle\frac{2}{3})^7 \)

Cuando las tengas todas aplica la formula del valor esperado para variables discretas:
\( E[Y_i]=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}y_j p_j \)

[general9000]

        P(x) =    \( \displaystyle\binom{n}{x} \) \(  p^x \)\(   q^{n-x} \)
                     
siendo n = 6 , p = 1/3 , q = 2/3


G = 729*Ingreso por Boleto - 729*Pérdida por Boleto
G = 729(10$) - 729 [  (1$)(P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)) + (4$)P(x=4 ) + (17$)P(x=5) + (31$)P(x=6) ]
G = ....
G \( \approx{} \)$ 6223