[skinboy]

Las rectas x − 2y = 4 y 2x − 9y = 8 son las rectas de regresión de una variable aleatoria bidimensional (X, Y ) con N = 10 y \( {\sigma_x}^2  \) = 2.
a) Hallar el coeficiente de correlación lineal, la varianza de Y y la covarianza.
b) Si se descubre que uno de los puntos considerados, el (2,−1), no debería haberse utilizado, hallar las nuevas rectas de regresión.

Para hallar el coeficiente de correlacion linal me hace falta la covarianza, y no sé hallar la covarianza con los datos que me proporciona el problema

[leonardo09]

Primero:

dado un conjunto de pares ordenados dado un \( n \) observaciones \( {(X_i,Y_i)}^n_{i=1} \) la recta de regresión lineal está dada por \( y-\overline{y}=\displaystyle\frac{S_{XY}}{S_X}(x-\overline{x}) \) y esta es única, o sea, a cada conjunto de colecciones de pares ordenados le corresponde una recta de regresión (no así contrariamente, no es una biyección), por lo tanto me parece extraño que ,e digas que hay dos rectas de regresión.

Si me puedes aclarar eso creo poder ayudarte muy correctamente en este problema, pero no quiero arriesgarme a enfrentarme en algo desconocido y quedar "en verguenza"

[Luis Fuentes]

Hola

 No. La recta de regresión de \( Y \) sobre \( X \) es:

\(  y-\overline{y}=\dfrac{S_{XY}}{S_X^2}(x-\overline{x}) \)

 Mientras que la de regresión de \( X \) sobre \( Y \) es:

\(  x-\overline{x}=\dfrac{S_{XY}}{S_Y^2}(y-\overline{y}) \)

 Skinboy: puedes utilizar este hecho para resolver tu problema.

Saludos.

[skinboy]

Es como dice el_manco.
Pero aun así no se obtener los valores de \(  x_i  \), de \( y_i \) y de \(  n_{ij}  \), necesarios para obtener la covarianza

[Luis Fuentes]

Hola

 Tienes las rectas:

\(  y=\dfrac{1}{2}x-2 \) o equivalentemente \( x=2y+4 \)

\(  y=\dfrac{2}{9}x-\dfrac{8}{9} \) o equivalentemente  \( x=\dfrac{9}{2}y+4 \).

 Una de ellas corresponde a esta:

\(  y-\overline{y}=\dfrac{S_{XY}}{S_X^2}(x-\overline{x}) \)

 y otra a esta:

\(  x-\overline{x}=\dfrac{S_{XY}}{S_Y^2}(y-\overline{y}) \)

 Por tanto:

\(  \dfrac{S_{XY}}{S_X^2}=\dfrac{1}{2}\mbox{ \'o } \dfrac{S_{XY}}{S_X^2}=\dfrac{8}{9} \)

 Pero además sabemos que:

\(  \dfrac{S_{XY}^2}{S^2_XS^2_Y}\leq 1 \)

 Entonces si se diese:

\( \dfrac{S_{XY}}{S_X^2}=\dfrac{8}{9} \)

 Tendríamos:

\( \dfrac{S_{XY}}{S_Y^2}=\dfrac{2}{1} \)

 y multiplicando:

\(  \dfrac{S_{XY}^2}{S^2_XS^2_Y}=\dfrac{16}{9}> 1 \)

 Por tanto necesariamente:

\( \dfrac{S_{XY}}{S_X^2}=\dfrac{1}{2} \)

 Ademas sabemos que (nos lo dice el enunciado) que \( S_X^2=2 \). Por tanto:
 
\(  S_{XY}=1 \)

Ahí tienes la covarianza.

Saludos.