[esfmipnmex]

Un niño está sentado en la parte superior de un montón de hielo semiesférico. Se le da un pequeño empujón y comineza a deslizarse hacia abajo por el hielo. (a) Demostrar que si el hielo no presenta fricción pierde contacto con la superficie en un punto cuya altura es 2R/3. (b) Si existe fricción entre el niño y el hielo, ¿se desprenderá de la superficie en un punto superior o inferior que en el encontrado en (a)?  (R es el radio de la semiesfera)

Agradeceré mucho su ayuda. 

[escarabajo]

Hola.

Basicamente tenes tres cosas a tener en cuenta:

-El movimiento del niño es una trayectoria circular
-Se conserva la energía(piensa por qué) y además la velocidad inicial es nula.
-Cuando el niño está por desprender la reacción "normal" del monton de hielo se anula.

Recordá que para un movimiento de trayectoria circular la aceleración radial vale: \( v^2/R \), siendo v la velocidad tangencial, y R el radio de la trayectoria.

Con newton, la conservación de energía y la condición de anular la normal deberías obtener el resultado.

Para la parte b) plantea las ecuaciones de newton y reflexiona.

Saludos.

[Richard R Richard]

Si no hay fricción la energía mecánica se conserva entonces lo que cae la energía potencial debe ser igual al incremento de energía cinética

\( mg(R-R\sin \theta)=\frac12mv^2 \)

en el momento del despegue la normal se hace 0 y la fuerza centrípeta se iguala a la componente de la gravedad normal a superficie

\( \dfrac{mv^2}{R}=mg \sin \theta \)

si despejo \( v^2 \) de la primera y lo reemplazo en esta última

\( \dfrac{mg2R(1-\sin \theta)}{R}=mg \sin \theta \)

simplificando

\( 2(1-\sin \theta)=\sin \theta \)


por lo que \( \frac 23 =\sin \theta \)

entonces \( \theta=\text{41° 48' 37.13"} \)

\( h=R\sin\theta=\dfrac{2}{3}R \)

Si hubiese fricción la velocidad del niño al deslizarce será menor, la fuerza centripeta menor y la gravedad mantendría al niño mas tiempo sobre la superficie, recorriendo un ángulo mayor, por lo que descendería por debajo de la altura \( \dfrac{2}{3}R \) antes de dejar de tener contacto con la superficie.


Saludos