Autor Tema: Límite de longitudes

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11 Octubre, 2008, 10:15 pm
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Robottero

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Supongamos que tengo una familia de curvas en el plano \( C_n:[0,1] \to \mathbb C \) con extremos fijos.  Supongamos que estas curvas convergen a la curva \( C \).

Si denotamos por \( l(s) \) a la longitud de la curva s.  Entonces es bien sabido que no es verdad que:

\( l(\lim_n C_n)= \lim_n l(C_n) \)

Spoiler
Ver por ejemplo la "paradoja de la escalera con una infiidad de peldaños"
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Mi duda es, bajo qué condiciones sí tenemos la igualdad? En otras palabras:

1) qué tipo de convergencia debo pedir para que entonces la longitud conmute con el límite?

o

2) Qué les tengo que pedir a las curvas (por ejemplo ser rectificalbes basta?) para que pueda conmutar el límite con la longitud?

Gracias por sus comentarios.

11 Octubre, 2008, 10:26 pm
Respuesta #1

Jabato

  • Visitante
Todas ellas deben ser rectificables, pero la curva límite también debe serlo. Puede ocurrir que la curva límite no lo sea aunque lo sean todas y cada una de las \( C_n \). Piensa que en la paradoja de la escalera la curva límite no es rectificable.

Saludos, Jabato.

13 Octubre, 2008, 03:24 am
Respuesta #2

Robottero

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mmm...

En la paradoja de la escalera, la curva límite es la recta que es la hipotenusa del triángulo rectángulo que determina la escalera. La recta límite no es rectificable.  Creo que no basta que tango las curvas \( C_n \) como la curva límite sean rectificables.  Se debe de pedir condiciones más fuertes, como convergencia de algún tipo... o condiciones más fuertes al tipo de curvas...

Gracias de cualquier manera, agradecería más comentarios.

Robottero.

13 Octubre, 2008, 04:39 am
Respuesta #3

Jabato

  • Visitante
No estoy de acuerdo Robottero, es fácil demostrar que para una longitud total de la escalera de 1 y un número de peldaños cualquiera, n, natural, los puntos de la forma (k, k) con k irracional no pertenecen a la curva límite y por lo tanto dicha curva no es la diagonal del cuadrado, aunque lo parezca. Solo tienes que ver que dicha curva corta a la diagonal del cuadrado en todos puntos de la forma (k/n, k/n) con k y n naturales pero no todos los puntos de la diagonal pertenecen a la curva límite. Precisamente esa es la explicación de la paradoja.

Saludos, Jabato.

13 Octubre, 2008, 10:09 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 ¿Cuál es exactamente la paradoja de la escalera?.

 Por otro lado hay que tener cuidado con que se entiende por "curva límite".

 Por como ha establecido las hipótesis Robottero, entiendo que se refiere a la curva determinada por el límite (como funciones) de la sucesión funcional:

\( \{C_n\} \)

 Esto no tiene porque coincidir con el límite topológico \( C \) de las curvas imágenes (estoy un poco fuera de juego, en cuanto al formalismo) que podría definirse como algo así:

\(  z\in C\quad \Leftrightarrow{}\quad \forall\epsilon>0,\quad \exists n_0\in N|\quad n\geq n_0\quad \Rightarrow{}\quad B_\epsilon(z)\cap C_n\neq \emptyset \)

 En cuanto al límtie funcional, de manera intuitiva la convergencia uniforme pudiera ayudar. Prueba.

Saludos.

13 Octubre, 2008, 01:28 pm
Respuesta #5

Jabato

  • Visitante
La paradoja de la escalera es curiosa, si, al medir la longitud de la curva en forma de escalera que une dos esquinas diagonalmente opuestas de un cuadrado de lado unidad, para un número finito cualquiera de peldaños iguales, se observa que su longitud es siempre 2, pero cuando el límite alcanza un número de peldaños infinito, siempre según el razonamiento de robottero, no del mio, la longitud es \( \sqrt[ ]{2} \) que es la diagonal del cuadrado de lado 1, razonamiento que yo no comparto en absoluto porque en mi opinión la curva límite no es la diagonal del cuadrado, creo que lo demostré en mi mensaje anterior.

Saludos, Jabato.

13 Octubre, 2008, 02:48 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Citar
razonamiento que yo no comparto en absoluto porque en mi opinión la curva límite no es la diagonal del cuadrado, creo que lo demostré en mi mensaje anterior.

 No veo nada claro que concepto de límite de curvas estás usando. Tu argumento es tanto como decir que el límite de las curvas:

\(  [0,1]\times \{1/n\} \)

 NO es el segmento \( [0,1]\times \{0\} \).

 Lo cual no es nada intuitivo y rigurosamente está en desacuerdo con los dos conceptos de límite que apunté en mi anterior post.

 El problema de la escalera puede dibujarse así (si acostamos la diagonal):



 Claramente tanto el límite puntual como topológico de los peldaños es la diagonal.

 Además esto me hace ver que lo de la convergencia uniforme no funciona.

 Recordando este problema análogo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=12415.0

 uno puede dar alguna condición (por elevación) para tener la coincidencia de longitud del límite y límite de longitudes.

 Para curvas suficientemente buenas, la cosa se reduce a un problema de convergencia de intergrales (o más en general de teoría de la medida).

 Basta consultar condiciones para los cuales sea cierto:

\(  \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\displaystyle\int_{0}^{1}\|\alpha_n'(t)\|dt=\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\|\alpha_n'(t)\|dt \)

 Y además el límite de la derivada coincida con la derivada del límite.

 Por supuesto digo por elevación porque supone que las curvas implicadas sean diferenciables. A partir de ahí puede intentarse debilitar las hipótesis (trabajando a trozos; y luego con teoría de variaciones en lugar de con derivadas).

Saludos.

13 Octubre, 2008, 07:40 pm
Respuesta #7

Jabato

  • Visitante
Pues no entiendo muy bien tus argumentos pero una cosa si tengo clara, la longitud del fractal de mandelbrot es infinita, al igual que la de la costa de bretaña, y el problema de la escalera está relacionado con esos dos, aunque la longitud no sea infinita. Yo creo que mi argumento es claro, la diagonal del cuadrado y la escalera límite no son el mismo conjunto puesto que los puntos (k, k) con k irracional pertenecen a la diagonal del cuadrado pero no a la esclera límite.

Saludos, Jabato.

13 Octubre, 2008, 07:42 pm
Respuesta #8

Robottero

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Hola.

En efecto, cuando me refiero a convergencia, me refiero al menos a convergencia puntual. Que es la definicion que pone el manco.  Con esta definicion es claro que las escaleras convergen a la diagonal.  El argumento de Jabato, no implica que las escaleras NO convergan a la recta (con esta definicion estandar de convergencia). Estamos de acuerdo.

Aunque mi intencion no era dar un argumento para ver el porque la  paradoja, no es en realidad paradoja... de cualquier manera es interesante. Ya habia notado que convergencia uniforme no bastaba para poder intercambiar longitudes con limites.

En ese sentido era mi pregunta.... Que tipo de convergencia (que ha de ser mas que puntual o uniforme) se ha de pedir para que entonces si puedan conmutar limite y longitud?

o como deben de ser las curvas \( C_n \) para que dado un tipo de convergencia entonces si pueda asegurar que puedo conmutar limite y longitud?

Ya intuyo que en efecto esto es mas un problema de teoria de la medida. Pero pense que por ser un problema que digamos, aparece naturalemente, se tendria ya algun resultado concreo... algun teorema o algo que me diga por ejemplo: Si la sucesion de curvas converge en medida (para una cierta medida) a la curva C entonces las lognitudes se preservan en el limite... o algo asi como: Si las curvas son de clase \( C^\infty \) entonces la longitud se preserva en el limite.

Entonces ahora con lo que dice el Manco... Sabes que condiciones se piden para que

\(  \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\displaystyle\int_{0}^{1}\|\alpha_n'(t)\|dt=\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\|\alpha_n'(t)\|dt \)

 Y además el límite de la derivada coincida con la derivada del límite?  La respuesta la he de buscar en libros de teoria de la medida, o de geometria diferencial?

Gracias.

P.S.  Si gustas, Jabato, podemos abrir una nueva discusion sobre la paradoja de la escalera.  Veriamos por ejemplo que las escaleras si convergen a la recta... y que tu argumento no aclara la paradoja (como ya dejo ver el manco). 


13 Octubre, 2008, 07:44 pm
Respuesta #9

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Si no me das una definición (rigurosa o intuitiva) de lo que estás llamando "limite de un conjunto de curvas" no sé de que estás hablando (¿escalera límite?). Yo ya he dado la mía.

 Yo creo que lo que digo es bastante claro y sólo hay que ver el dibujo para intuir que estoy entendiendo por límite.

Saludos.

P.D. Para Robottero: he de irme. Pero yo buscaría en Teoría de la Medida.