[Quema]

Hola

Si tengo \( Eu(a+bX)=c \)con \( X \)una v.a. simétrica con media cero y \( c \)una constante. Supongamos que \( a=h(b) \).

¿Cómo hago para expandir por Taylor \( u \)de forma que pueda analizar \( \displaystyle\frac{da}{db} \)?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Si quieres expandir \( u \) por Taylor, pues expándela. ¿Dónde está el problema?.

\(  u=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}\dfrac{(u-u_0)^nu^{n)}(u_0)}{n!} \)

 Pero no estoy seguro de que consigues (supongo que te estás inspirando en algún argumento que ya has visto o utilizado: si es así explícalo).

 Tampoco sé por que dices que tienes \( a=h(b)  \) si más bien parece que te interesa estudiar \( a \) como función de \( b \).

 Tienes:

\(  Eu(a(b)+bX)=c \)

 Lo que toca es derivar con respecto de \( b \):

\(  E((a'(b)+X)u'(a(b)+bX))=0 \)

 de donde:

\(  a'(b)E(u'(a(b)+bX))=-E(Xu'(a(b)+bX)) \)

 y

\(  a'(b)=\dfrac{E(Xu'(a(b)+bX))}{E(u'(a(b)+bX))} \)

Saludos.

[Quema]

Hola

Si pero eso es lo que no entiendo, en otro post que pregunté sobre función implícita se me respondió que (aplicado a este caso), que:

\(  a'(b)=\dfrac{E(Xu'(a(b)+bX))}{E(u'(a(b)+bX))} \) dependería de \( c \), cosa que no lo veo acá.

Capaz que no entendí bien.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 No, en este caso también depende de \( c \).

 Ten en cuenta que esa derivada depende de \( a(b) \) y esa función a su vez es la que verifica que:

\(  Eu(a(b)+bX)=c \)  (I)

 Si variamos \( c \), varía la función \( a(b). \)

 Lo que ocurre es que a veces la expresión de la derivada calculada, puede simplificarse utilizando la ecuación implícita inicial (I). Eso nos hace más "visible" la dependencia de la misma de la constante \( c \). Es lo que ocurría en el otro caso que citas.

 Un ejemplo. Si consideramos la ecuación:

\(  x^2+y^2=r^2 \)

 y queremos estudiar \( y \) como función de \( x \), tendríamos:

\(  x^2+y(x)^2=r^2 \)

 y derivando:

\(  2x+2y(x)y'(x)=0 \)

 de donde:

\(  y'(x)=\dfrac{-x}{y(x)} \)

 ¿Depende de \( r \)? Aparentemente no, pero en realidad si. Si en la ecuación (I) despejamos:

\(  y(x)=\sqrt{r^2-x^2} \)

 y sustituyendo:

\(  y'(x)=\dfrac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}} \)

 Ahora la expresión de la derivada sólo depende de \( x \) y de la constante que elijamos \( r \).

 Por supuesto normalmente no seremos capaces de despejar \( y(x) \) en la ecuación inicial, ya que entonces no necesitaríamos usar derivación implícita.

Saludos.

[Quema]

Hola

Pero, creo que aplicando el teorema de la función implícita, si tengo \( F(x,y)=0 \) y \( F_x \)es contínua y \( F_y>0 \)entonces podré expresar \( y=f(x) \).

Mi pregunta es ¿ entonces en ese caso \( r=0 \) y \( y^{\prime}(x) \)seguirá dependiendo del valor que tome \( r \)?

 Creo que con esto termino de entender completamente el tema.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Lo que ocurre es que en el teorema de la función implícita suele darse siempre la función igualada a cero.

 Esto no es ninguna restricción; en mi ejemplo la función sería:

\(  F(x,y)=x^2+y^2-r^2 \)

 y por supuesto depende de \( r \).

  En tu caso la función sería:

\(  F(a,b)=Eu(a+bX)-c \)

 y por supuesto depende de \( c \) (y de la distribución de \( X \) y de la función \( u \)).

Saludos.