[Quema]

Hola

Si tengo una v.a. continua \( X \)con soporte en \( [0,1] \) y densidad \( f(x) \). Cuál es la distribución de \( Z=a+b max\left\{{X-a, 0}\right\} \) con \( 1\geq{}b\geq{}a>0 \) ?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Tenemos en cuenta que:

\(  Z=\begin{Bmatrix} a & \mbox{ si }& X\leq a\\a+b(X-a) & \mbox{si}& X\geq a\end{matrix} \)

 Entonces la funcion de distribución de \( Z \) será:

\(  G(z)=P(Z\leq z)=\begin{Bmatrix}{ 0 &\mbox{ si }& z< a\\P(X\leq (z-a)/b+a) & \mbox{si}& a\leq z< a+b(1-a)\\1 & \mbox{si}& z\geq a+b(1-a)\end{matrix} \)

 donde:

\(  P(X\leq (z-a)/b+a)=\displaystyle\int_{0}^{\frac{z-a}{b}+a}f(x)dx \)

Saludos.

[Quema]

Hola

La densidad será \( \displaystyle\frac{1}{b}f(\displaystyle\frac{z-a}{b}+a) \), no?

Ahora tengo que maximizar respecto a \( "a" \)

\( Eg(a+b(X-a)) \)

Supongamos que \( g^{\prime}>0 \) y \( g^{\prime\prime}<0 \).

¿ Cómo se hace?


Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Ojo. No es una dsitribución continua, tiene un salto en \( Z=a \).

 Por tanto se tiene:

\(  P(Z=a)=\displaystyle\int_{0}^{a}f(x)dx \)
 
 y en el intervalo \( (a,a+b(1-a)] \) la densidad:

\(  h(z)=\dfrac{1}{b}f(\dfrac{z-a}{b}+a) \)

 En cuanto al estudio de máximos de tu función. Haz lo de siempre: estudia su derivada, puntos críticos, segunda derivada...

Saludos.

[Quema]

Hola

La densidad queda

\(  f(z)=\begin{Bmatrix}{ 0 &\mbox{ si }& z< a\\\displaystyle\frac{1}{b}f((z-a)/b+a)) & \mbox{si}& a\leq z< a+b(1-a)\\0 & \mbox{si}& z\geq a+b(1-a)\end{matrix} \)

Quiero maximizar \( \displaystyle\int_{a}^{a+b(1-a)}g(a+b(x-a))f((x-a)/b+a))dx \)

Hago un cambio de variable \( t=(x-a)/b+a) \)

\( b\displaystyle\int_{a}^{(1-a)/b+a}g(a+b^2(t-a))f(t)dt \)

Y de aquí aplico regla de Leibniz no?

Voy bien?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Ojo, que no, que esa no es la función de densidad. Al no ser ni continua ni discreta, para manejar la distribución de \( Z \) lo que se suele hacer es expresarla como combinación lineal de una discreta y una continua:

\( F(z)=\alpha F_d(z)+(1-\alpha)F_c(z) \)

 Ahora he de irme.

Saludos.

[Quema]

Hola

Me parece que me estoy complicando la vida y es más fácil. La función objetivo me quedaría así, dada que en la relación la única v.a. es \( X \)

\( \displaystyle\int_{a}^{1}g(a+b(x-a))f(x)dx+\displaystyle\int_{a}^{0}af(x)dx \)

no?


Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Hay una cosa que no has aclarado. ¿Qué es exactamente lo que quieres maximizar?.

 Escríbelo en función de \( Z  \) (no de su densidad, que nos está trayendo problemas), para estar seguros de que hablamos de lo mismo.

Saludos.

[Quema]

Hola

Quiero maximizar \( Eg(Z(a)) \) hallando el \( a \)óptimo.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Ah. En ese caso tienes que maximizar la función:

\(  \phi(a)=E(g(Z))=g(a)\displaystyle\int_{0}^{a}f(x)dx+\displaystyle\int_{a}^{1}g(a+b(x-a))f(x)dx \)

siendo \( f(x) \) la función de densidad de la variable \( X \).

Saludos.