Hola
Para que se cumpla que \( Z=g(X)-g(Y) \) es simétrica, para cualquier par de variables simétricas e indpendientes, ha de exigirse que:
\( h(x)=g(x)-g(0) \) sea una función par (es decir \( h(x)=h(-x) \)).
La condición es suficiente por lo siguiente. Si \( Z=g(X)-g(Y)=h(X)-h(Y) \), entonces \( h(X),h(Y) \) son simétricas por ser h función par (simétrica) y por tanto su diferencia también.
La condición es necesaria por lo siguietne. Si \( h(x) \) no es par, existe un \( x_0 \) tal que \( h(x_0)\neq h(-x_0) \), tomando como variables aleatorias \( Y=0 \) y \( X \) equiprobable en \( \{-x_0,0,x_0\} \) puede verse que \( Z=g(X)-g(Y) \) no es simétrica.
Obviamente todo esto no quiere decir que para algunas variables particulares \( X \) e \( Y \) pudiera haber otras funciones \( g \) que hicieran \( Z=g(X)-g(Y) \) simétricas.
Saludos.
