Como anuncié, estaré molestando en esta sección un tiempito. Es que realmente empecé con el pie izquierdo esta materia.
He aquí el siguiente ejercicio:
Un helicóptero se encuentro suspendido en la posición \( x = L, y = H \). En \( t = 0 \) el helicóptero comienza a descender con aceleración \( a_y = -kt \). En el origen de coordenadas hay un cañón que forma un ángulo \( \alpha \) con la horizontal y dispara proyectiles con velocidad de salida \( v_0 \)
i) Encuentre la trayectoria del proyectil (\( y(x) \)). Grafique y vs x para el proyectil y para el helicóptero.
ii) Diga para qué valores de \( v_0 \) la trayectoria del proyectil y la del helicóptero se intersecan.
iii) Si \( v_0 \) es alguno de los valores hallados en ii) diga en qué instante debe efectuarse el disparo para que el proyectil haga impacto sobre el helicóptero.
Veamos lo que pude hacer y si está bien o no (es un poquito extenso):
i) Trayectoria del proyectil.
Tenemos que las velocidades iniciales en \( x \) e \( y \) son: \( v_{x0} = cos(\alpha)\left |{v_0}\right |, v_{y0} = sen(\alpha)\left |{v_0}\right | \). En \( x \) la aceleración es nula y en \( y \) está determinada por \( g \), quedando:
\( (x;y)(t) = X(t) = (cos(\alpha)\left |{v_0}\right |t;sen(\alpha)\left |{v_0}\right |t - \displaystyle\frac{\left |{g}\right |t^2}{2}) \)
Despejando \( t \) en \( x(t) \) tenemos que \( t = \displaystyle\frac{x}{cos(\alpha)\left |{v_0}\right |} \) y reemplazando en \( y(t) \) nos queda:
\( y(x) = sen(\alpha) \left |{v_0}\right | \displaystyle\frac{x}{cos(\alpha)\left |{v_0}\right |} - \displaystyle\frac{\left |{g}\right | x^2}{2cos^2(\alpha)\left |{v_0}\right |^2} = tan(\alpha)x - \displaystyle\frac{\left |{g}\right | x^2}{2 cos^2(\alpha) \left |{v_0}\right |^2} \)
(Para el gráfico tengo que el cañón es una parábola cuadrática cóncava hacia abajo que comienza en el origen y el helicóptero forma un segmento sobre la recta \( x = L \))
ii) Supondremos que la recta \( y = 0 \) es el suelo y ahí acaba todo. Es decir, las trayectorias se cruzarán siempre que se cumpla la siguiente condición:
Para algún \( t_i, y(t_i) \geq{} 0 \wedge x(t_i) \geq{} L \) si \( L\geq{}0 \). Y si es menor a 0, es lo mismo pero simétrico.
Con las justificaciones harto conocidas, calculamos \( T=\{t':y(t')=0\} \) y ello es \( t' = \displaystyle\frac{-sen(\alpha)\left |{v_0}\right |\pm \sqrt[ ]{sen^2(\alpha)\left |{v_0}\right |^2}}{-g\left |{v_0}\right |} \Rightarrow{} t_1 = 0, t_2 = \displaystyle\frac{2sen(\alpha)\left |{v_0}\right |}{g} \)
Luego decimos que \( x(t_2) \geq{} L \) por lo que tenemos:
\( x(t_2) = cos(\alpha)\left |{v_0}\right | \displaystyle\frac{2sen(\alpha)\left |{v_0}\right |}{g} \geq{}L \)
Despejando \( \left |{v_0}\right | \geq{} \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{L g}{2sen(\alpha)cos(\alpha)}} \) si \( cos(\alpha)>0, sen(\alpha)>0 \)
iii) El encuentro se va a dar cuando se cumpla que \( x(t_e) = L \Rightarrow{} y(t_e) = h(t_e) \) donde \( h(t) \) es la altura del helicóptero en función del tiempo \( t \). Como hice todo de forma tal en que el proyectil se lanza en \( t = 0 \), fue un error, hallaré el tiempo en que debe descender el helicóptero.
Como tenemos la altura en función de \( x \), directamente reemplazamos ahí por \( L \), quedando:
\( tan(\alpha)L - \displaystyle\frac{\left |{g}\right | L^2}{2 cos^2(\alpha) \left |{v_0}\right |^2} = h(t_e) = H - \displaystyle\frac{k (t_e-t_0)^3}{6} \)
Despejando \( t_0 \) tenemos:
\( t_e - \sqrt[3]{\displaystyle\frac{6[tan(\alpha)L - \displaystyle\frac{\left |{g}\right | L^2}{2 cos^2(\alpha) \left |{v_0}\right |^2} - H]}{k}} = t_0 \)
Luego, \( t_e = \displaystyle\frac{2sen(\alpha)}{g} \) por lo que:
\( t_0 = \displaystyle\frac{2sen(\alpha)}{g} - \sqrt[3]{\displaystyle\frac{6[tan(\alpha)L - \displaystyle\frac{\left |{g}\right | L^2}{2 cos^2(\alpha) \left |{v_0}\right |^2} - H]}{k}} \)
Muchas gracias de antemano ^^
