[ivam]

Hola a todos, tengo el siguiente problema. Un jugador de football se encuentra sobre una roca hemisférica de radio R en su parte más alta y patea horizontalmente un balón. La pregunta es qué velocidad debe darle al balón para que éste nunca toque la roca y caiga lejos de ésta.
Lo primero que se me ocurrió fue mirar el problema de forma plana, considerar al radio R como el radio de curvatura de la trayectoria del balón. La ecuación de dicha trayectoria quedaría\(  y=\displaystyle\frac{gx^2}{2v^2} \) , y la de la circunferencia \( x^2 + y^2 = R^2 \).
Luego de estas consideraciones obtuve \( v = \sqrt[ ]{2gR} \), lo cual implica que el balón caería a una distancia horizontal R del pie de la roca. No se si he hecho bien los cálculos, pero en tal caso me gustaría conocer otra forma de resolverlo sin tener que usar radio de curvatura.
De antemano gracias.

[alexis]

Ten cuidado, que al despejar la velocidad el 2 pasa dividiendo!

[aladan]

Lo primero que se me ocurrió fue mirar el problema de forma plana, considerar al radio R como el radio de curvatura de la trayectoria del balón

El movimiento del balón describe una parábola, si suponemos que la velocidad incial que se imprime al balón es horizontal, ese movimiento responde a
                                   \( x=vt \)

                                   \( y=\displaystyle\frac{gt^2}{2} \)

la velocidad mínima que debe imprimir el futbolista, la obtienes a partir de que un punto de la trayectoria, tomando como origen el punto de lanzamiento, sea (R, -R) de donde obtienes

                                       \( v=\sqrt \displaystyle\frac{gR}{2} \)
por tanto para que el balón no toque la roca
                                                               \( v>\sqrt\displaystyle\frac{gR}{2} \)
Saludos

[Richard R Richard]

                                                               \( v>\sqrt\displaystyle\frac{gR}{2} \)

Veo la deducción un poco rápida  y corta, y el latex no indica bien hasta donde llega la raiz...

Corregido luego, bonito desarrollo para halla la intersección de la parábola y la circunferencia pero no responde a la solución correcta del problema.

Spoiler

el movimiento de un tiro parabólico de velocidad inicial horizontal esta gobernado a la vez por dos ecuaciones una de  MU en horizontal y una de MUA


\( x=vt\quad\to\quad t=\dfrac{x}{v} \)

\( y=R-\dfrac12gt^2 \)

de estas dos se puede obtener la ecuación de la trayectoria  de \( y \) en función de \( x \)

\( y=R-\dfrac12g\dfrac{x^2}{v^2} \)

la ecuación de la semiesfera es

\( x^2+y^2=R^2 \quad/y\geq 0 \)

introduciendo la penúltima en la última

\( x^2+\left(R-\dfrac12g\dfrac{x^2}{v^2}\right)^2=R^2 \)

desarrollando

\( x^2+\cancel{R^2}-Rg\dfrac{x^2}{v^2}+\dfrac{g^2x^4}{4v^4}=\cancel{R^2} \)

sabiendo que en el límite para no tocar la semiesfera \( x \) deberá ser apenas mayor a R  , hacemos el reemplazo \( x=R \)



\( R^2-g\dfrac{R^3}{v^2}+\dfrac{g^2R^4}{4v^4}=0 \)

dividimos por \( R^2 \), hacemos \( z=v^2 \)


\( 1-g\dfrac{R}{z}+\dfrac{g^2R^2}{4z^2}=0 \)

multiplicamos por \( z^2 \)


\( z^2-gRz+\dfrac{g^2R^2}{4}=0 \)

resolviendo la cuadrática tiene una sola solución

\( z=\dfrac{gR}{2} \)

reemplazando lo que vale \( v \) en función de \( z \)

\( v=\pm\sqrt{\dfrac{gR}{2}} \)

luego presentando las inecuaciones

\( -\sqrt{\dfrac{gR}{2}}<v>\sqrt{\dfrac{gR}{2}} \)

[cerrar]

Saludos

[hméndez]

Hola, Richard R Richard para garantizar que el balón no toque el hemisferio una vez pateado, lo que
tenemos que asegurar es que el radio de curvatura de la parábola en su vértice sea como mínimo igual a \( R \). En otras palabras garantizar
que la curvatura de la misma sea igual a \( \frac{1}{R} \). A partir de allí sabemos que su curvatura irá disminuyendo mientras la del hemisferio
se mantendrá constante e igual a  \( \frac{1}{R} \) por lo que el balón se separará cada vez más de la roca sin volver a tener un punto en común.

Si mis cálculos no están herrados (porque aquí es de madrugada) esa velocidad mínima es \( \sqrt[ ]{gR} \).

Puedes revisar tu cálculo haciendo por ejemplo \( x=\frac{R}{2} \) y veras que la ordenada correspondiente a la parábola es menor que la
correspondiente al hemisferio, lo cual es absurdo.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Veo la deducción un poco rápida  y corta, y el latex no indica bien hasta donde llega la raiz...

el movimiento de un tiro parabólico de velocidad inicial horizontal esta gobernado a la vez por dos ecuaciones una de  MU en horizontal y una de MUA


\( x=vt\quad\to\quad t=\dfrac{x}{v} \)

\( y=R-\dfrac12gt^2 \)

 Desde aquí, para que el objeto este siempre por encima de la circunferencia tiene que cumplirse que:

 \( y^2\geq R^2-x^2 \)

 \( \left(R-\dfrac12gt^2\right)^2\geq R^2-v^2t^2 \)

 Operando equivale a:

 \( v^2\geq Rg-\dfrac{1}{4}g^2t^2 \)

 La cota de la derecha decrece en el tiempo, así que basta que se cumple para \( t=0 \).

 \( v^2\geq Rg\quad v\geq \sqrt{Rg} \)

 Un gráfico para \( R=1 \).


Saludos.

[Richard R Richard]

Hola tienen razón , gracias, las curvas se intersectan al revés de como venía pensando el problema, pensaba que la parábola venia por encima de la semiesfera que hacía tangencia en un punto y continuaba , pero no es cierto, nunca podría.
Me hubiese dado cuenta si graficaba en vez de hacer formulitas en el mismo papel,  al ver un resultado familiar  creí que estaba bien.

El radio de curvatura de la parábola en el vértice es

\( R_c=\dfrac{1}{2a} \)

Donde \( a \) es el valor del coeficiente que acompaña a \( x \) al cuadrado en la función de la parábola

\( a=\dfrac{g}{2v^2} \)

Se deduce que el radio de curvatura es

\( R_c=\dfrac{v^2}{g} \)

Cómo la parábola a partir del vértice comienza a ampliar su radio de curvatura, solo hay que garantizar que el radio de curvatura de la parábola sea igual al de la semiesfera para asegurarse que no la vuelva a intersecar.

Por lo que si \( R_c=R \) entonces

\( v=\sqrt{gR} \)