[Dolieth]

Hola.
Necesito hacer esta demostracion por induccion, apesar de que la he rayado mucho aún no llego a la respuesta.
\( \forall{n\in{N}: \textsf{si}\ a_1\leq{b_1},\ a_2\leq{b_2},...,a_n\leq{b_n} \)
entonces \( a_1+a_2+...+a_n\leq{b_1+b_2+...b_n} \)
Usando ese esultado para demostrar que si \( x_1,x_2,...,x_n \) son numeros reales cuales quiera y \( y_1,y_2,...,y_n \) son  numeros reales positivos, entonces;
\( m\leq{\displaystyle\frac{x_1+x_2+...+x_n}{y_1+y_2+...+y_n}\leq{M}} \)
en donde m y M son respectivamente el menor y el mayor de los números
\( \displaystyle\frac{x_1}{y_1},\displaystyle\frac{x_2}{y_2},...,\displaystyle\frac{x_n}{y_n} \)

Entonces lo que yo planteo es que si ordeno tal que:
\( \displaystyle\frac{x_1}{y_1}\leq{\displaystyle\frac{x_2}{y_2}\leq{}...\leq{\displaystyle\frac{x_n}{y_n}}} \)
estaria demostrando:
\( \displaystyle\frac{x_1}{x_2}\leq{\displaystyle\frac{x_1+x_2+...+x_n}{y_1+y_2+...+y_n}\leq{\displaystyle\frac{x_n}{y_n}}} \)
por induccion; en n=1 pues no habria nada que demostrar, supongo entonces es cierto para n; ahora el problema esta en demostrar que es cierto para n+1
\( \displaystyle\frac{x_1}{y_1}\leq{\displaystyle\frac{x_1+x_2+...x_n+x_{n+1}}{y_1+y_2+...+y_n+y_{n+1}}}\leq{\displaystyle\frac{x_n+1}{y_n+1}} \)
Gracias de antemano.
PDT: por favor dìganme si hay algun error en el planteamiento
Gracias, una abrazo.

[Luis Fuentes]

Hola

 Una ayuda:

 i) Pruébalo para \( n=2 \):

\(  \dfrac{x_1}{y_1}\leq \dfrac{x_1+x_2}{y_1+y_2}\leq \dfrac{x_2}{y_2} \)

bajo la hipótesis \( \dfrac{x_1}{y_1}\leq \dfrac{x_2}{y_2} \).

Spoiler

(basta que quites denominadores)

[cerrar]

 ii) Luego aplícalo para el caso general de inducción, considerando los sumandos:

\( \dfrac{x_1+\ldots+x_n}{y_1+\ldots+y_n},\dfrac{x_{n+1}}{y_{n+1}} \)

Saludos.

[Dolieth]

no sé hay algo que me esta fallando, me podrias ilustrar un poco más?

[Luis Fuentes]

Hola

 Te responderé mejor si me concretas en que parte tienes dudas o te fallan las cosas.

 Por ejemplo,en (i), para probar que :

\(  \dfrac{x_1+x_2}{y_1+y_2}\leq \dfrac{x_2}{y_2} \)

 Si quitamos denominadores eso equivale a:

\(  x_1y_2+x_2y_2\leq x_2y_1+x_2y_2\quad \Leftrightarrow{}\quad x_1y_2\leq x_2y_1 \)

 y esto último equivale a:

\(  \dfrac{x_1}{y_1}\leq \dfrac{x_2}{y_2} \)

 que es nuestra hipótesis.

Saludos.