[richipunk]

Hola tengo este problema a ver si me ayudan.
¿De cuántas formas es posible distribuir una docena de caramelos a cinco niños de modo que ningún niño tenga más de siete caramelos?

[Luis Fuentes]

Hola

 El número total de formas de distribuir los caramelos son combinaciones con repetición de \( 5 \) tipos de elementos tomados de \( 12 \) en \( 12 \):

\(  CR_{5,12}=\displaystyle\binom{5+12-1}{12}=\displaystyle\binom{16}{12}=\displaystyle\binom{16}{4} \)

 Ahora le restamos aquellas distribuciones en las que el niño i-ésimo recibe ocho o más caramelos. Eso quiere decir que repartimos los \( 4 \) caramelos restantes entre los cinco niños:

 \(  CR_{5,4}=\displaystyle\binom{5+4-1}{4}=\displaystyle\binom{8}{4} \)

 Nos quedan por tanto:

\( \displaystyle\binom{16}{4}-5\cdot \displaystyle\binom{8}{4} \)

 El problema también puede ser enfocado así. Si llamamos \( x_1,\ldots,x_5 \) al número de caramelos recibido por cada niño, se trata de hallar el número de soluciones enteras de la ecuación:

\(  x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=12 \)

 con

\(  0\leq x_i\leq 7,\qquad i=1,2,3,4,5 \)

 A ese respecto te puede interesar esto:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=13631.msg56881#msg56881

Saludos.

[richipunk]

hola el_manco no entiendo la parte:

Ahora le restamos aquellas distribuciones en las que el niño i-ésimo recibe ocho o más caramelos. Eso quiere decir que repartimos los [4]  caramelos restantes entre los cinco niños:
\(  

  [ CR_{5,4}=\displaystyle\binom{5+4-1}{4}=\displaystyle\binom{8}{4}]

 \)

Por qué tomas  combinación con repetición de 5,4 (de donde sacas el 4).

[Luis Fuentes]

Hola

 Si suponemos por ejemplo que el niño \( 1 \) recibe ocho o más caramelos, quiere decir que automáticamente le damos \( 8 \). Nos quedan \( 4 \) caramelos para repartir, y pueden ser dados a cualquiera de los cinco niños; de ahí que tomamos combinaciones con repetición de cinco tipos de elementos tomados de \( 4 \) en \( 4 \).

 Equivalentemente, para contar las soluciones de la ecuación:

 \( x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=12 \)

 \( 0\leq x_i, \qquad i=1,2,3,4,5,\qquad x_1\geq 8 \)

 Hacemos el cambio de variable \( y_1=x_1-8 \) y contamos las soluciones de:

 \( y_1+x_2+x_3+x_4+x_5=4 \)

 \( 0\leq x_i, \qquad i=2,3,4,5,\qquad y_1\geq 0 \)

Saludos.