[Peregring_Lok0ooo0]

¿Por qué al tipificar una variable aleatoria, esta pasa de ser \( N(\mu,\sigma) \) a \( N(0,1) \)?

¿Concretamente, cuál es su demostración?, o ¿cómo se llega de \( f_{N(\mu,\sigma)}(x) \) a \( f_{N(0,1)}(x) \)?.


Saludos.
Peregring_Lok0ooo0.

[Luis Fuentes]

Hola

 Basta tener en cuenta como se modifica la función de densidad de la transformación de una variable aleatoria.

 Si \( h \) es una transformación derivable e inyectiva, y \( X \) es una variable aleatoria con densidad \( f_X \), entonces la variable:

\(  Y=h(X) \)

 tiene densidad \( f_Y(y) \) verificando:

 \( f_X(x)=f_Y(h(x))h'(x) \)

 Si aplicamos eso a \( X=N(\mu,\sigma) \) e \( Y=h(X) \), \( \dfrac{X-\mu}{\sigma} \), tenemos:

 \( f_X(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \)

 \( f_Y(y)=\dfrac{1}{h'(x)}f_X(h^{-1}(y))=\sigma\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{y^2}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{y^2}{2}} \)

 y vemos que efectivamente \( Y\in N(0,1) \).

Saludos.

[Peregring_Lok0ooo0]

Muchas gracias, me ha servido de gran ayuda. Además con eso he podido demostrar que si \( X=N(\mu,\sigma) \Rightarrow kX=N(k\mu,k\sigma) \), ¿Porque esto es cierto no?, de no serlo pongo aquí mi demostración y me decís en que me he equivocado.


Pero, ¿qué pasa con la distribución suma de dos variables independientes pero de distribución idéntica?, ¿se puede considerar que, al ser de distribución idéntica, entonces \( X+Y = X+X = 2X \) y entonces \( X+Y = N(2\mu,2\sigma)? \).


Saludos.
Peregring_Lok0ooo0.

[Luis Fuentes]

Hola

 La distribución normal es reproductiva.

 Es decir si tienes \( X\in N(\mu_1,\sigma_1) \), \( Y\in N(\mu_2,\sigma_2) \) independientes, entonces:

\( X+Y\in N(\mu_1+\mu_2,\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}) \)

 Puedes leer algo sobre el tema aquí (página 5):

http://www.emp.uva.es/inf_acad/hermer/estad2/material/e2t_dist_var_continuas.pdf

Saludos.

[Aitanuqui]

Hola

 Basta tener en cuenta como se modifica la función de densidad de la transformación de una variable aleatoria.

 Si \( h \) es una transformación derivable e inyectiva, y \( X \) es una variable aleatoria con densidad \( f_X \), entonces la variable:

\(  Y=h(X) \)

 tiene densidad \( f_Y(y) \) verificando:

 \( f_X(x)=f_Y(h(x))h'(x) \)

 Si aplicamos eso a \( X=N(\mu,\sigma) \) e \( Y=h(X) \), \( \dfrac{X-\mu}{\sigma} \), tenemos:

 \( f_X(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \)

 \( f_Y(y)=\dfrac{1}{h'(x)}f_X(h^{-1}(y))=\sigma\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{y^2}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{y^2}{2}} \)

 y vemos que efectivamente \( Y\in N(0,1) \).

Saludos.

Buenas tardes, sé que este hilo es muy antiguo, pero si alguien lo leyese, ¿de dónde has sacado \( f_X(x)=f_Y(h(x))h'(x) \)?

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas tardes, sé que este hilo es muy antiguo, pero si alguien lo leyese, ¿de dónde has sacado \( f_X(x)=f_Y(h(x))h'(x) \)?

Es el Teorema de cambio de variable de variables aleatorias continuas. Grosso modo la idea es que si llamas \( F_x,F_y \) a las funciones de distribución de \( X,Y \), y \( f_X(x)=F_X'(x) \), \( f_Y(y)=F_Y'(y) \) a sus derivadas (las funciones de densidad) entonces:

\( F_X(x)=P(X\leq x)=P(h(X)\leq h(x))=P(Y\leq h(x))=F_Y(h(x)) \)

derivando:

\( F_X'(x)=F_Y'(h(x))h'(x) \)

es decir:

\( f_x(x)=f_y(h(x))h'(x) \)

Saludos.

[Aitanuqui]

Muchas gracias Luis, la primera vez que lo leí me costó un poco entenderlo, pero ya que he estudiado más, ya lo entiendo.