Hola
Si tengo dos v.a. \( X,Y \) i.i.d con soporte \( [-b,b] \) y función de densidad \( g(x) \)con \( a\in{}(0,1) \) y defino \( Z=aX+(1-a)Y \) y densidad \( f(x) \).
Ahora definimos \( F^A(x)=\displaystyle\int_{-b}^{x}F(t)dt \). Supongamos que \( G^A(x)\geq{}F^A(x) \) para todo \( x \).
Sea \( u(x) \) una función convexa para \( x<0 \) y cóncava para \( x\geq{}0 \). Con \( u^{\prime\prime\prime}(x)>0 \) para todo \( x \)
Ahora
\( Eu(X)=\displaystyle\int_{-b}^{b}u(x)g(x)dx \), integrando por partes tres veces, obtenemos
\( Eu(X)=u(b)-u^{\prime}(b)G^A(b)+u^{\prime\prime}(b)\displaystyle\int_{-b}^{b}G^A(t)dt-\displaystyle\int_{-b}^{b}u^{\prime\prime\prime}(x)[\displaystyle\int_{-b}^{x}G^A(t)dt]dx \)
Haciendo
\( Eu(Z)-Eu(X)=u^{\prime\prime}(b)\displaystyle\int_{-b}^{b}[G^A(t)-F^A(t)]dt \)\( -\displaystyle\int_{-b}^{b}u^{\prime\prime\prime}(x)\displaystyle\int_{-b}^{x}[F^A(t)-G^A(t)]dt\geq{}0 \)
Nota: \( G^A(b)=F^A(b) \) pues ambas variables aleatorias tienen la misma media y mismo soporte.
Me parece que tengo un error, pero no se cuál es?
Pues este resultado contradice los obtenidos en este post.
http://www.rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=10619.msg47360#msg47360Pues en la demostración de arriba no juega para nada la diferencia de convexidad o concavidad. Además, notar que a pesar que \( u \) es convexa y luego cóncava, puede igualmente darse que \( u^{\prime\prime\prime}(x)>0 \), ejemplo \( \sqrt{x} \) para valores positivos y \( -\sqrt{-x} \) para valores negativos.
Saludos
