[indiocolifa]

Tengo una variable aleatoria X de distribución \( U(0, \theta) \) de forma que hay que buscar un estimador para \( \theta \). La f.d.p de la distribución es \( f(x)=\dfrac{1}{\theta} \).

Por el método de momentos, igualamos el primer momento muestral al primer momento poblacional, es decir:

\( E(X) = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i} \).

En nuestro caso, \( E(X)= \theta/2 \) entonces igualamos \( \theta/2 = \bar{x} \).
De aquí que \( \widehat{\theta}=2\bar{X} \).

Ahora bien, si este estimador es insesgado debe cumplir que \( E(\widehat{\theta})=\theta \)
Hacemos \( E(2\overline{X})=\theta \Leftrightarrow{2E(\overline{X})=\theta}  \)

Como \( E(\bar{X})=\mu \) entonces \( \theta=2\mu \).

Es decir que el estimador es sesgado.

Su error cuadrático medio está dado por \( ECM(\theta)=V(\overline{X})-S(\theta)^2 \) donde S es el
sesgo del estimador.

Mi pregunta es 1) si está todo OK lo de arriba y 2) cuál es \( V(\overline{X}) \) para la distribución \( U(0,\theta) \).

Si no me equivoco \( V(\overline{X})=\dfrac{\sigma^2}{n} \) pero esto es solo para distribución normal ¿no es así?

[leonardo09]

Hola!!

Bueno, tu pregunta es muy simple de responder, y también sería simple de responder si tu tuvieras la siguiente consideración:

\( V(\overline{x})=\displaystyle\frac{\sigma^2}{n} \) independiente de la distribución de \( X \), como vez lo que importa es como se distribuye \( \overline{x} \), la cual es \( \bar{x}\sim{N(\mu,\displaystyle\frac{\sigma^2}{n})} \), en donde \( \sigma^2 \) es la varianza de la población en donde se está calculando la media (en este caso la distribución uniforme), la cual en este caso particular es: \( \sigma^2=\displaystyle\frac{\theta^2}{12} \), por lo que \( V(\overline{x})=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\theta^2}{12}}{n} \)