Hola
Me quedo otra duda más, es con respecto \( E[X^n]=\dfrac{d^nm_X(t)}{dt^n} \), no debería ser \( E[X^n]=\dfrac{d^nm_X(0)}{dt^n} \).
Si. Ahí me equivoqué.
Y cuando calculo la 3º derivada de \( m_X \) y la evaluo en cero, me da \( 3\sigma^2+\mu^3 \), ¿cuál es mi error?
Tenemos:
\( m_X(t)=e^{\mu t+\frac{\sigma^2t^2}{2}} \)
\( m_X'(t)=(\mu+\sigma^2t)e^{\mu t+\frac{\sigma^2t^2}{2}}=)=(\mu+\sigma^2t)m_X(t) \)
\( m_X''(t)=\sigma^2m_X(t)+(\mu+\sigma^2t)m_X'(t)=(\sigma^2+(\mu+\sigma^2t)^2)m_X(t) \)
\( m_X'''(t)=2\sigma^2(\mu+\sigma^2t)m_X(t)+(\sigma^2+(\mu+\sigma^2t)^2)m_X'(t)= \)
\( =(3\sigma^2+(\mu+\sigma^2t)^2)(\mu+\sigma^2t)m_X(t) \)
de donde:
\( E[X^3]=m_X'''(0)=3\sigma^2\mu+\mu^3 \)
Conclusión: me equivoqué en mi anterior post.
Ahora no veo tan sencillo una expresión explícita para la derivada enésima. Si puedes probar la siguiente ecuación recursiva:
\( E[X^n]=(n-1)\sigma^2E[X^{n-2}]+\mu E[X^{n-1}] \)
Espero no haberme equivocado ahora.
2) a) Uiliza que si \( X \) e \( Y \) son independientes e idénticamente distribuidas la distribución conjunta es simétrica. Por tanto cualquier transformación de la misma \( g(X,Y) \) cumple \( g(X,Y)=g(Y,X) \).
piensa mas menos, que nunca he tenido un ramo de probabilidad y que todos los conceptos son nuevos, y que mas encima lo estoy viendo casi todo en abstracto, casi ningún ejemplo.
En realidad tendría que saber que teoría manejas para hacer esto de una u otra manera. Pero por ejemplo:
Si \( X \) e \( Y \) son idénteicmante distribuidas, está claro que \( X-Y \) tiene media cero, porque \( E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0 \).
Entonces si \( X \) e \( Y \) son independientes, la función de densidad conjunta cumple:
\( g(X,Y)=f(x)f(y) \)
siendo \( f \) la densidad de \( X \) e \( Y \) (es la misma por ser idénticamente distribuídas).
Por tanto la densidad de \( Z=X-Y \) es:
\( h(z)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}g(t+z,t)dt=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}g(t,t+z)dt=
\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}g(u-z,u)u=h(-z) \)
Luego es simétrica (hemos hecho el cambio de variable \( t=u-z \)).
Otra forma de verlo es con las funciones características. Por ser \( X \) e \( Y \) independientes:
\( \phi_{X-Y}(t)=\phi_X(t)\phi_{-Y}(t)=\phi_X(t)\phi_X(-t) \)
\( \phi_{Y-X}(t)=\phi_Y(t)\phi_{-X}(t)=\phi_Y(t)\phi_X(-t) \)
Como \( X \) e \( Y \) están idénticamente distribuídas tienen la misma función caracterísitca. Deducimos que \( X-Y \) e \( Y-X \) tienen la misma función característica y por tanto son idénticamente distribuidas.
En cuanto al segundo, si \( X \) e \( Y \) son idénticamente distribuídas y solo tiene probabilidad en dos puntos \( a \) y \( b \) tienes:
\( P(X=a)=P(Y=a)=p \)
\( P(X=b)=P(Y=b)=1-p \)
Entonces la distribución conjunta solo toma valores en \( (a,a),(a,b),(b,a),(b,b) \) y:
\( p=P(X=a)=P((X,Y)=(a,a))+P((X,Y)=(a,b)) \)
\( p=P(Y=a)=P((X,Y)=(a,a))+P((X,Y)=(b,a)) \)
deducimos que P(a,b)=P(b,a) y por tanto la distribución conjunta es simétrica. Ahora puedes aplicar un argumento parecido al primero. O incluso directamente ver cual es la distribución de \( X-Y \). Sólo tomas los valores \( a-b \),\( 0 \) ó \( b-a \).
\( P(X-Y=a-b)=P((X,Y)=(a,b)) \)
\( P(X-Y=0)=P((X,Y)=(a,a))+P((X,Y)=(b,b)) \)
\( P(X-Y=b-a)=P((X,Y)=(b,a))= \)
\( =P((X,Y)=(a,b))=P(X-Y=a-b) \)
Y vemos la simetría.
Saludos.
