[Dogod]

Hola, un saludo a todos y gracias a los que siempre colaboram en el foro: hoy vuelvo aquí con el siguiente problema, de algo que se explicó en la clase estadística.... saludos y espero me colaboren:




\( f(x) = 6x(1-x) , 0< x < 1 \)

Encuentre la Función de densidad de \( Y = X^3 \)

el procedimiento lo entendí en clase, pero el profesor explicó muy ràpido y no pude entender por qué, luego de realizar este paso:

diciendo que: G(y) = \( p(Y\leq{y}) \) como \( y = x^3 \) entonces G(y)= \( p(x^3\leq{y}) \), sacamos la raíz en la desigualdad y queda: G(y) = \( p (X\leq{y}^{1/3} \)

= \( \displaystyle\int_{0}^{y{1/3}} f(x) dx \)

Lo que no entendí fue el por qué de esos cambios en los límites de la integral... si x va de cero a uno. Creo entenderlo, pero se me escapa algo y no quiero tener imprecisión...


Muchas gracias de antemano.

[Luis Fuentes]

Hola

 En general si tienes una variable aleatoria X con función de densidad f(x) su función de distribución F(X) es:

\( F(X)=P(X\leq x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{x}f(x)dx \)      (I)

 Fíjate que el límite superior de esa integral es el punto \( x \) hasta donde estamos calculando la probabilidad; intuitvamente esa suma representa la "suma" de todas las probabilidades de que \( X \) vaya tomando valores menores que \( x \).

 Si llamamos \( G \) a la función de distribución de la variable \( Y \) tienes:

\( G(y)=P(Y\leq y)=P(X^3\leq y)=P(X\leq y^{1/3})= \)

\( =F(y^{1/3})=\displaystyle\int_{-\infty}^{y^{1/3}}f(x)dx=\displaystyle\int_{0}^{y^{1/3}}f(x)dx \)

 Simplmente estamos aplicando (I). El límite inferior \( 0 \) aparece porque para valores menores, \( f(x) \) es nulo.

Saludos.

[Dogod]

Hola, el profesor allí pasó de largo, no explicó muy bien ese concepto, ahora lo recuerdo bien, cuando lo vimos en el curso de Probabilidad... qué elegante es usted el_manco,


Muchas gracias y que esté bien

saludos