[hectorsic133]

Hola , necesito ayuda con este problema , gracias por anticipado.

1..- Si el número de diagonales de un dodecaedro regular se resta x , resulta el número de diagonales de un icosaedro y+4. Hallar x+y.

Saludos.

[EnRlquE]

Hola.

 Utilicemos que para los poliedros simples se verifica que si \( C \) es su número de caras, \( V \) es su número de vértices y \( A \), su número de aristas, entonces

\( C+V=A+2 \)

 Como un dodecaedro regular tiene \( 12 \) caras y cada cara es un pentágono, intenta deducir que tiene \( 20 \) vértices, luego por la relación anterior, tenemos que un dodecaedro regular tiene \( 30 \) aristas. Para contar el número de diagonales del dodecaedro, observemos que estas son todos los posibles segmentos que unen dos vértices distintos del dodecaedro, excepto las aristas del dodecaedro, luego la cantidad de diagonales del dodecaedro es

\( D_{1}=\displaystyle\binom{20}{2}-30=160 \)    (Razonamiento incompleto corregido más abajo)

 Similarmente intenta determinar el número de diagonales \( D_{2} \) de un icosaedro (supongo que regular).

 Finalemente en el problema se tiene que \( D_{1}-x=y+4=D_{2} \), de dónde podemos determinar \( x+y \), pues \( D_{1} \) y \( D_{2} \) son conocidos. Intenta terminar y si tienes alguna duda, pregunta.

Saludos.

[hectorsic133]

Hola, en un libro encontre que el numero de diagonales de un poliedro, es igual a:
\( D_{1}=\displaystyle\binom{20}{2}-30-Dc \)

Dc= Nº de diagonales de todas sus caras

saludos.

[EnRlquE]

Hola.

 Huy!!!

 Tienes razón hectorsic133, me faltó restar las diagonales de las caras del dodecaedro. Bien, como cada cara del dodecaedro regular es un pentágono regular y cada pentágono regular tiene \( 5 \) diagonales, tendremos siguiendo la notación de tu último mensaje, que \( D_{C}=12(5)=60 \), por tanto el número de diagonales del dodecaedro es

\( D_{1}=\displaystyle\binom{20}{2}-30-60=100 \)

 Y el mismo razonamiento se sigue para el icosaedro regular (aunque las caras de este, por ser regiones triangulares no tienen diagonales).

Saludos.

P.D: Perdón por el error cometido.

[hectorsic133]

Hola, no tienes porque, gracias a ti , saludos.