[alinfinitum]

Los enteros positivos desde 1 hasta n2 son colocados arbitrariamente en los cuadritos de una cuadrícula de n x n. Demuestra que existen dos cuadritos adyacentes (que comparten un lado o un vértice) tales que la diferencia de los números colocados en ellos no es menor que n+1.

[Luis Fuentes]

Hola

 Una forma de enfocarlo:

Spoiler

Localizamos la casilla donde está el \( 1 \) y la casilla donde está \( n^2 \).

 Supongamos que colocamos una ficha en \( 1 \) y la vamos moviendo a casillas adyacentes. Está claro que siempre podemos llegar a \( n^2 \) en, como máximo, \( n-1 \) movimientos.

 Ahora si en cada uno de esos movimientos la diferencia entre el número de la casilla de partida y la de llegada es menor que \( n+1 \), tendríamos que a lo sumo al pasar de \( 1 \) a \( n^2 \) aumentamos:

\( n(n-1)=n^2-n-1<n^2-1 \) IMPOSIBLE!!!

 Por tanto en alguno de esos saltos la diferencia ha de ser mayor o igual que \( n+1 \).

[cerrar]

Saludos.