[camaron]

Hola, a ver si pueden darme una mano con este problema

¿Cuantas funciones se pueden determinar F: A={1,2,3,4,5,6,7}\( \longrightarrow{} \)B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} si se tiene que cumplir simultáneamente que F(1)\( \in{} \){2,4,6} e \( i\leq{j} \) en A implica que \( F(i)\leq{F(j)} \) en B?

Saludos!

[EnRlquE]

Hola.

 Una forma es analizar estos tres casos

• Las funciones \( F:A\to B \) tales que \( F(1)=2 \). Notemos que si definimos \( a_{1}=F(2)-F(1)\;,a_{2}=F(2)-F(1),\dots,a_{6}=F(7)-F(6) \), tenemos que \( a_{i}\geq0 \),para todo \( i\in\{1,2,\dots,6\} \), además \( F(1)+a_{1}+a_{2}+\dots+a_{6}=F(7)\leq{15}\Longleftrightarrow a_{1}+a_{2}+\dots+a_{6}\leq{13} \), luego si \( S=a_{1}+a_{2}+\dots+a_{6} \) y si \( a_{7}=13-S \), tenemos que \( a_{i}\geq0 \),para todo \( i\in\{1,2,\dots,7\} \) y que
  
  
  \( a_{1}+a_{2}+\dots+a_{6}+a_{7}={13} \)
  
   Observemos además que por cada función \( F \), existe un arreglo de números \( a_{1},a_{2},\dots,a_{7} \) como el anterior y viceversa, para cada arreglo de números no negativos \( a_{1},a_{2},\dots,a_{7} \), con \( a_{1}+a_{2}+\dots+a_{6}+a_{7}={13} \) se puede formar una función \( F \).
  
   Luego la cantidad de funciones con \( F(1)=2 \), es el número de maneras que siete números enteros no negativos sumen \( 13 \), esta cantidad es
  
  
  \( \displaystyle\binom{13+7-1}{7-1}=\binom{19}{6}=\dots \)
  
  
• Las funciones \( F:A\to B \) tales que \( F(1)=4 \)
  
  
• Las funciones \( F:A\to B \) tales que \( F(1)=6 \)
  
  

 Los dos últimos casos son semejantes al primero (inténtalos!!). El resultado buscado es la suma de los resultados parciales de cada caso.

Saludos.