[MiKatp]

Hola

Lo primero un saludo a todos.

Tengo una duda sencilla respecto a la distribución de Poisson, he buscado en el foro pero a pesar de haber varios hilos que tratan esta distribución no he encontrado la respuesta.

Mi duda es la siguiente:

Supongamos un modelo de n átomos que aleatoriamente emiten fotones, en promedio cada átomo emite \( \mu \) fotones al minuto. Al cabo de un tiempo construyo un histograma con el número de fotones y cuántos átomos los han emitido, este tendrá forma de una distribución de Poisson.

Es decir, si por ejemplo tengo 100 átomos y \( \mu=10 \) habrá \( 100 P_{10}(2) = 22.7 \simeq 23 \) átomos que hayan emitido 2 fotones. Entonces ¿cual es la probabilidad de que en lugar de 23, encontremos que han sido 50?

He pensado que dado que la dispersión es \( \sqrt{\mu} = \sqrt{10} \) tenemos que el resultado anterior es en realidad \( 100 \cdot (0.227 \pm \sqrt{10}) \). Podría asumir una distribución normal para estos resultados, de media \( \mu \) y \( \sigma=\sqrt{\mu} \). Con esto podia calcular la probabilidad de que el resultado fuese otro distinto.

Ahora bien, esto tiene dos problemas:
1/ la dispersión es de \( 100\sqrt{10} \sim 300 \). Un resultado de \( 23\pm300 \) me parece poco indicativo.
2/ Obviando lo anterior, ¿la suposición de la distribución normal para los resultados es correcta o no lo es?

Muchas gracias, y un saludo.

[bepro]

Como la ¿probabilidad? es mayor que 5 no puede seguir la distribución de Poisson. Lo que puedes hacer es calcular la probabilidad de forma coherente porque según tu dices también es posible que cumpla la distribución binomial en fin que el problema que planteas es poco entendible. Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Yo lo entiendo así:

 Tienes una variable aleatoria \( X \) que indica el número de fotones emitidos por un átomo y sigue una Poisson de media \( \mu \).

 Ahora consideras \( n \) átomos. La variable aleatoria \( Y \) que indica el número de fotones emitidos por todos ellos es:

 \( Y=\sum_{i=1}^n X_i \)

 donde cada \( X_i \) tiene la misma distribución que \( X \).

 Como la distribución de Poisson es reproductiva, entonces la variable \( Y \) sigue una Poisson de parámetro \( \lambda=100\mu \).

 Cuidado ahora con exactamente como quieres manejar todo esto y que quieres hallar.

 Por ejemplo si quieres hallar la probabilidad de que entre tus \( n \) átomos haya exactamente \( m \) que han emitido \( k \) fotones entonces tienes que usar una binomial.

 La probabilidad de éxito es:

 \( p=P(X=k)=\dfrac{e^{-\mu}\mu^k}{k!} \)

 Entonces tu variable \( Z \) es una binomial \( B(n,p) \) y:

 \( P(Z=m)=\displaystyle\binom{n}{m}p^m(1-p)^{n-m} \)

 Esto puede calcularse de manera exacta o aproximando por una normal, pero eso es otra historia.

Saludos.

[MiKatp]

Era eso exactamente lo que quería calcular.
No había pensado en que se trataba de una binomial, pero mi intuición aquí era aplicar la normal.

Estoy bastante flojo en estadística.

Muchas gracias.