Hola
Varias cosas.
- Funciones crecientes que te interpolen esos puntos de manera exacta hay infinitas. Lo más sencillo unirlos con rectas dos a dos.
- Si queremos derivabilidad, podemos unirlos con parábolas dos a dos exigiendo igual derivada en los puntos de unión.
- Y así sucesivamente si quieremos mayor orden de deravibilidad.
- Eso no quiere decir que este sea el "formato" de cualquier función interpoladora: insisto hay infinitas.
- Lo más razonable a bote pronto es intentar el polinomio interpolador de grado 5 como indicó Jabato.
- La derivada SI puede ser SIEMPRE POSITIVA, porque dicha derivada es un polinomio de grado 4 y éste puede no tener ninguna raíz real.
- La forma más cómoda de calcular el polinomio no es resolver el sistema indicado por Jabato, sino utilizar los polinomios de interpolación de Lagrange.
\( p_1(x)=\dfrac{(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5)(x-x_6)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4)(x_1-x_5)(x_1-x_6)} \)
\( p_2(x)=\dfrac{(x-x_1)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5)(x-x_6)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)(x_2-x_4)(x_2-x_5)(x_2-x_6)} \)
\( \ldots \)
Donde \( x_i \) son los valores de \( x \). Tales polinomios verifican:
\( p_i(x_j)=\begin{Bmatrix} 1 & \mbox{ si }& i=j\\0 & \mbox{si}& i\neq j\end{matrix} \)
de manera que el polinomio buscado es:
\( p(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^6{}y_ip_i(x) \)
siendo \( y_i \) los valores de \( y \) en cada nodo.
- Puedes comprobar que su derivada es siempre positiva y por tanto creciente como tu querías.
Saludos.
