¡Hola juana de arco!
Este problema que planteas es un problema clásico de probabilidad.
Se resuelve mediante la regla de Laplace: Casos favorables divididos entre casos posibles.
Para calcular tanto los casos favorables como los casos posibles, hay que recurrir a la combinatoria.
Lo único que se puede hacer es presentar el argumento de una forma sencilla.
Yo lo he encontrado expuesto de manera sencilla en un libro muy bueno, que se llama "El hombre anumérico" escrito por John Allen Paulos.
Dice así:
".....Exactamente la mitad de las veces que se reúnen 23 personas elegidas al azar, dos o más de ellas han nacido el mismo día.
Para aquellos lectores que no se acaban de creer el resultado, he aquí una breve deducción. Según la regla del producto, cinco fechas distintas se pueden elegir de 365x365x365x365x365 maneras diferentes (si se permiten las repeticiones). De estos \( 365^5 \) casos, en sólo 365x364x463x362x361 casos ocurre que no dos hay fechas repetidas; se puede escoger en primer lugar cualquiera de los 365 días, cualquiera de los 364 restantes en segundo, y así sucesivamente. Así pues, dividiendo este último producto entre \( 365^5 \) tendremos la probabilidad de que 5 personas escogidas al azar no celebren su cumpleaños el mismo día . Un cálculo análogo tomando 23 en vez de 5 da 1/2.
Hasta aquí el libro de Paulos
Te recomiendo que, calculadora en mano, compruebes todos los cálculos.
A mí me gusta mucho la calculadora on line gratuita WolframAlpha, en la cual puedes hallar el astronómico producto 365x364x....x(365-21)x(365-22) tecleando product of (365-n) for n=0 to 22 y dividirlo por el todavía más astronómico \( 365^{23} \) que se teclea 365^23 .
Espero que esto te sirva.
Te animo también a buscar en google tecleando "probabilidad cumpleaños"
Saludos
POSDATA DEL 17 DE AGOSTO DE 2014: Haciendo los cálculos con la wolfram alpha y teniendo en cuenta que 365x364x....x(365-21)x(365-22) = \( {\displaystyle\frac{365!}{(365-23)!}= {\displaystyle\frac{365!}{342!}} \) sale \( {\displaystyle\frac{365!}{342!}}=0,4927...... \)
