[dkpuchi]

2. Intervalos de Confianza

Estime puntualmente y mediante un intervalo de confianza, la cantidad media de gastrina, en mujeres
gestantes, entre 15 y 25 semanas de gestación, mediante los datos siguientes: 39, 49, 35, 39, 34, 21,
49, 40, 35, 38. Consideraremos que los valores de gastrina se distribuyen normalmente. Utilice un
nivel de confianza del 95 %.
Sabemos que para un nivel de confianza fijo, mientras más estrecho es el intervalo, más deseable es.
¿Qué podríamos hacer para obtener, en nuestro problema, una reducción de la anchura del intervalo?



Por favor alguien podria responder esta preguta, detallando los pasos para llegar a los resultados..que no se como hacerlo

[leonardo09]

Dicho punto es el número tal que:

\( \mathbb{P}[\bar{x} \ge X_{\alpha/2}] = \mathbb{P}[z \ge Z_{\alpha/2}] = \alpha/2 \)

Y en la versión estandarizada se cumple que:

\( Z_{-\alpha/2} = -Z_{\alpha/2} \)

Así:

\( \mathbb{P}\left[-Z_{\alpha/2} \le \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \le Z_{\alpha/2}\right] = 1 - \alpha \)
Haciendo operaciones es posible despejar \( \mu \) para obtener el intervalo:

\( \mathbb{P}\left[\bar{x} - Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{x} + Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] = 1 - \alpha \)

Resultado el intervalo de confianza:

\( (\bar{x} - Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}) \)

Si \( \sigma \) no es conocida y n es grande (p.e. ≥ 30):
\(
(\bar{x} - Z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}, \bar{x} + Z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}) \), donde s es la desviación típica de una muestra.