[leonardo09]

P1.
Considere dos especies de peces en un lago. La longitud en cm. de peces de la primera especie tiene una distribución \( N(\mu_1=50,\sigma^2_1=4^2) \), mientras la longitud en cm. de peces de la segunda especie tiene la distribución , \( N( \mu_2 ,\sigma^2_2=3^2) \)con \( \mu_2 \)  desconocido.
Suponga que peces de la primera y de la segunda especie nadan mezclados en el lago con proporciones del 10% y 90%,respectivamente.
(a)
Determine el valor  \( \mu_2  \)  de manera que la probabilidad de capturar un pez con una longitud superior a  40 cm. sea del 90%.

En las partes (b) y (c) de este problema, suponga \( \mu_2=39cm \). Un pez se dirá valioso si su longitud está entre 42 y 46 cm

(b)
Ud. captura 15 peces, sucesiva e independientemente. Calcule la probabilidad que al menos 13 de estos sean valiosos

(c)
Ud. vende peces en bandejas de 5 peces cada una. Cierto restoran le pagara $3000 por cada bandeja que contenga a lo mas 1 pez valioso, mientras que este restaurant le pagara $10000 por cada bandeja que contenga al menos 2 peces valiosos.
Por otra parte, el envío al restaurant de 20 bandeja de peces (independientemente de su tipo) le cuesta a Ud $80000. ¿Cuál es la probabilidad que el valor total (en pesos) de las 20 bandejas de peces sea mayor o igual que el costo de envío?

Tengo mas preguntas , las voy a ir poniendo en función de su disponibilidad a responder.

[Luis Fuentes]

Hola

 Las distribuciones normales son reproductivas, es decir, si:

\(  X\in N(\mu_1,\sigma_1^2) \)

\(  Y\in N(\mu_2,\sigma_2^2) \)

 entonces:

\(  aX+bY\in N(a\mu_1+b\mu_2,a^2\sigma_1^1^2+b^2\sigma_2^2) \)
 
 En nuestro caso la variable que rige la longitud de un pez del río sigue la distribución:

 \( Z=0.1X+0.9Y\in N(\mu,\sigma^2) \)

 con:

 \( \mu=0.1\mu_1+0.9\mu_2 \)

 \( \sigma^2=0.1^2\sigma_1^2+0.9^2\sigma_2^2 \)

 Queremos que:

 \( P(Z\geq L)=0.9 \)

 o equivalentemente que:

 \( P(Z\leq L)=0.1 \)

 Tipificamos la variable \( Z \) y queda:

 \( P(Z'\leq \dfrac{L-\mu}{\sigma})=0.1 \)

 donde \( Z'\in N(0,1) \).

 Con una tabla inversa de la normal hallas \( \dfrac{L-\mu}{\sigma}. \)  De ahí \( \mu  \) y luego \( \mu_2 \).

 (b) Calcula la probablida de que un pez sea valioso. Luego aplica una distribución binomial.

 (c) Inténtal plantear algo siguiendo la misma idea que en (b)...

Saludos.

P.D. En tu enunciado te has comido el valor de \( L \). Dice "longitud superior a  cm.".

[Luis Fuentes]

Hola

 OK. Pues aplica lo anterior con \( L=40 \).

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 En realidad las tablas inversas son las mismas que las directas, pero leídas de al revés.

 Usualmente viene tabulada la normal \( N(0,1) \) para:

 \( P(Z'\leq x)=p \)

 con \( p\geq 0.5 \).

 Como nosotros tenemos \( p=0.1 \), para poder utilizar la tabla aprovechamos la simetría de la normal.  Se tiene:

\(  P(Z'\leq x)=1-P(Z'\leq -x) \)

 Por tanto buscas el valor \( y \) verificando:

 P(Z'\leq y)=1-0.1=0.9.

 De manera una vez que tengas ese \( y \),

\(  -y=x=\dfrac{40-\mu}{\sigma} \)

 Por ejemplo mirando en esta tabla vemos que:

\(  P(Z'\leq 1.28)=0.8997\approx{} 0.9 \)

 Por tanto:

 \( x=-y=-1.28 \)

 y a partir de ahí puedes hallar \( \mu \), y luego \( \mu_2 \).

Saludos.

[leonardo09]

\( \[
\begin{eqnarray}{l}
 P\left( {Z' < \displaystyle \frac{{35 - 0.9\mu _2 }}{{\sqrt {7,45} }}} \right) &= &0,1 \\
  \displaystyle \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int\limits_{ - \infty }^{\frac{{35 - 0.9\mu _2 }}{{\sqrt {7,45} }}} {\exp ( \displaystyle \frac{{ - t^2 }}{2})} dt &=& 0,1 \\
 \end{eqnarray}
\]
 \)

Por eso no puedo aislar \( \mu_2 \)

[Luis Fuentes]

Hola

 Cuando usamos la normal nunca podemos aspirar a resolver explícitamente la ecuación. Siempre usamos tablas u ordenador.

 Por ejemplo, si \( Z\in N(0,1) \), utilizando las tablas:

 ¿sabes calcular \( P(Z\leq 0.27)  \) ?

 ¿y un \( k \) verificando que \( P(Z\leq k)=0.6064 \)?.

 Una vez que tengas claro esto, relee mi post anterior.

Saludos.

[leonardo09]

Efectivamente , el problema lo tengo con el \( k \) , ya que la tabla la se usar , pero cuando la incognita es el limite superior de la integralñ me voy al demonio, no tienes un link donde aborden este problema...

[Luis Fuentes]

Hola

 Olvídate de la integral y céntrate en la tabla.

 Imagina que \( Z\in N(0,1) \) y quieres calcular \( k \) para que:

 \( P(Z\leq k)\leq 0.7 \)

 Vas a la tabla y buscas el valor que más se aproxime a \( 0.7 \).

http://www.terra.es/personal/jariasca/selectiv/normal.htm

 Será el \( 0.6985 \) y parece en la fila donde pone \( 0.5 \) y columna \( 0.02 \), por tanto el valor de \( k \) es \( 0.52 \).

 Repito...¡no es más que usar la tabla pero de al revés: buscamos nuestra probabilidad en la talba y en las filas y columnas "leemos" el correspondiente valor de \( k \)!.

Saludos.

[leonardo09]

jajaja
A si pos si ( Imitando al Chavo del 8 )
bien , el manco me has abierto los ojos nuevamente

[leonardo09]

O sea , en esta tabla , en la columna \( 0,0 \) veo que \( 0,0968 \) está en la fila para \( z=-1,3 \) , por lo tanto \( -1,3=\displaystyle\frac{35-0,09\mu_2}{\sqrt[ ]{7,45}} \)
y aislo \( \mu_2 \)

Perfecto¡¡¡