Hola JCB, la fuerza de rozamiento actúa en sentido contrario al movimiento de la superficie que se apoya, si el giro es en el sentido de las agujas del reloj y el CM del disco mueve a derecha la fuerza de rozamiento va hacia la izquierda.
Defino
Eje $$x$$ positivo, hacia la derecha
Rotación positiva, antihoraria (CCW)
$$F > 0$$, fuerza de la soga hacia la derecha
$$F_r > 0$$ , fricción sobre el carrete hacia la izquierda (sentido contrario a $$F$$)
$$a_{cm} > 0$$, aceleración del centro de masa hacia la derecha
$$\alpha > 0$$, aceleración angular antihoraria
En rodadura pura, para que el punto de contacto tenga aceleración nula,
$$a_{cm} = -R\alpha \quad\Rightarrow\quad \alpha = -\frac{a_{cm}}{R}$$
La fricción apunta hacia la izquierda,
$$F - F_r = m\, a_{cm} \tag{1}$$
Rotación respecto del centro de masa del cilindro.
Torque de $$F$$, $$+Fa$$ (antihorario).
Torque de la fricción, como $$F_r > 0$$ significa fuerza hacia la izquierda en el punto inferior, el torque es horario $$\Rightarrow -F_rR$$.
reemplazando en la ecuación de momentos,
$$Fa - F_rR = I\alpha = I\left(-\frac{a_{cm}}{R}\right) = -\frac{I}{R}a_{cm} \tag{2}$$
Para un cilindro sólido ($$I = \frac12 mR^2$$),
$$Fa - F_rR = -\frac12 mR\, a_{cm} \tag{2'}$$
Resuelvo desde la (1)
$$F_r = F - m a_{cm}$$
reemplazo en (2')
$$Fa - (F - m a_{cm})R = -\frac12 mR\, a_{cm}$$
$$Fa - FR + mR a_{cm} = -\frac12 mR\, a_{cm}$$
$$mR a_{cm} + \frac12 mR a_{cm} = FR - Fa$$
$$\frac32 mR\, a_{cm} = F(R - a)$$
$$a_{cm} = \frac{2F(R - a)}{3mR}$$
con eso vuelvo a calcular la fricción
$$F_r = F - m\cdot\frac{2F(R - a)}{3mR} = F - \frac{2F(R - a)}{3R} = F\left(1 - \frac{2(R - a)}{3R}\right)$$
$$F_r = F\left(\frac{3R - 2R + 2a}{3R}\right) = F\left(\frac{R + 2a}{3R}\right)$$
$$F_r = \frac{F}{3}\left(1 + \frac{2a}{R}\right)$$
Entonces con la soga por debajo del CM
$$a_{cm} = \dfrac{2F}{3mR}(R - a)$$
$$F_r = \dfrac{F}{3}\left(1 + \dfrac{2a}{R}\right) \quad (>0)$$
Si $$ a_{cm}$$ resulta siempre positivo mientras $$a < R$$ entonces el carrete avanza en el sentido de la tracción.
$$F_r$$ resulta en valor positivo cuando su vector apunta hacia la izquierda o contrario a $$F$$.
Cuando
$$a \to 0$$ entonces $$a_{cm}\to \dfrac{2F}{3m}$$ y $$F_r\to\dfrac{F}{3}$$
$$a = R/2$$ entonces $$a_{cm}\dfrac{F}{3m}$$ y $$F_r\to\dfrac{2F}{3}$$
$$a \to R$$ entonces $$a_{cm}\to 0$$ y $$F_r\to F$$ (Si el CM acelera hay deslizamiento, la única condición posible es no acelerar)
para que no deslice
$$F_r \le \mu mg \quad\Rightarrow\quad \dfrac{F}{3}\left(1 + \dfrac{2a}{R}\right) \le \mu mg$$
osea
$$F \le \dfrac{3\mu mg}{1 + \dfrac{2a}{R}}$$
Y si quisiera que el cilindro avance a la izquierda, conservando $$+x$$ hacia la derecha y el torque positivo en sentido antihorario. La fuerza $$F$$ tira horizontalmente hacia la derecha. Medimos la altura desde el centro del carrete hasta el punto donde se aplica la fuerza y la llamamos $$a$$ positiva hacia arriba. Por tanto, $$a>0$$ si el cable sale por encima del eje y $$a<0$$ si sale por debajo( contrario a como lo definías). $$a_c$$ es la aceleración del centro y $$F_r$$ para la fuerza de rozamiento, positiva hacia la derecha.
$$F+F_r=ma_c$$
La fuerza $$F$$, aplicada a altura $$a$$, produce un torque $$-aF$$. El rozamiento, aplicado en el punto de contacto inferior, produce un torque $$RF_r$$. Entonces
$$I\alpha=-aF+RF_r$$
Si queremos que tirando de la soga a derecha se mueva hacia la izquierda
$$a_c=R\alpha$$
De la ecuación de fuerzas
$$F_r=ma_c-F$$
Sustituyo esto y $$\alpha=a_c/R$$ en la ecuación de momentos
$$I\frac{a_c}{R}=-aF+R(ma_c-F)$$
Despejo
$$a_c=\frac{RF(R+a)}{I+mR^2}$$
Al reemplazar $$I=\tfrac12mR^2$$ tenes
$$\boxed{a_c=\frac{2F(R+a)}{3mR}}$$
Para que el carrete acelere hacia la izquierda, necesitamos $$a_c<0$$. Como $$F,m,R>0$$, esto requiere
$$\boxed{a<-R}$$
Es decir, el cable debe salir por debajo del eje y a una distancia mayor que $$R$$. La fuerza de rozamiento correspondiente es
$$F_r=ma_c-F
=-F\,\frac{I-maR}{I+mR^2}
=-F\,\frac{R-2a}{3R}$$
Para $$a<-R$$, $$F_r<0$$, por lo que el rozamiento apunta hacia la izquierda.
