Saludos a todos.
Quisiera que me ayudaran a corroborar si un argumento que aparece en la demostración del teorema de la función inversa es correcto. A mi parecer, tiene un hueco grave, pero como hace mucho que dejé de pensar y leer sobre estas cosas, no puedo estar seguro. La demostración aparece en el libro A Course in Advanced Calculus de Robert S. Borden, en las páginas 262–265. Transcribo aquí el enunciado del teorema y el fragmento de la demostración hasta el punto en el que surge mi confusión.
Teorema 9.3.1 (Teorema de la función inversa). Sea \(\varphi: E^n \to E^n\) de clase \(C^1\), y supóngase que en un punto \(\mathbf{P} \in E^n\), \(\det J_\varphi(\mathbf{P}) \neq 0\). Entonces existe una entorno \(A\) de \(\mathbf{P}\) tal que \(\varphi: A \to \varphi A\) es un difeomorfismo, es decir, un homeomorfismo que es continuamente diferenciable en ambos sentidos. Además, para cada \(\mathbf{u} \in A\) se tiene
\[ J_{\varphi^{-1}}(\varphi(\mathbf{u})) = [J_\varphi(\mathbf{u})]^{-1}. \]
Demostración: Sean \(\varphi, \mathbf{P}\) la aplicación y el punto que satisfacen la hipótesis del teorema. Sea \(D\) una entorno compacta y convexa de \(\mathbf{P}\) tal que \(J_\varphi(\mathbf{x})\) sea no singular en \(D\). Ahora, para cada \(\mathbf{x} \in D\), \(J_\varphi(\mathbf{x})\) es una aplicación lineal sobre \(E^n\) y por tanto acotada, cada entrada de \(J_\varphi(\mathbf{x})\) es continua en \(\mathbf{x}\), y hemos demostrado que \(\|J_\varphi(\mathbf{x})\|\) también es una función continua de \(\mathbf{x}\), donde esta norma está definida como:
\[ \|J_\varphi(\mathbf{x})\| = \sup \{ \|J_\varphi(\mathbf{x})\mathbf{y}\| : \|\mathbf{y}\| = 1 \}. \]
Además, para cada \(\mathbf{x} \in D\), \(0 < \|J_\varphi(\mathbf{x})\| < \infty\), y dado que \(D\) es compacto y \(\|J_\varphi(\mathbf{x})\|\) es continua en \(\mathbf{x}\), \(\|J_\varphi(\mathbf{x})\|\) alcanza un máximo y un mínimo en \(D\). Sea \(\underline{\mathbf{x}} \in D\) un punto donde \(\|J_\varphi(\mathbf{x})\|\) alcanza un valor mínimo,
\[ 0 < \|J_\varphi(\underline{\mathbf{x}})\| \le \|J_\varphi(\mathbf{x})\|, \quad \forall \mathbf{x} \in D. \]
Ahora póngase
\[ \lambda_\mathbf{x} = \inf_\mathbf{y} \left\{ \left\| \frac{J_\varphi(\mathbf{x})}{\|J_\varphi(\mathbf{x})\|} \mathbf{y} \right\| : \|\mathbf{y}\| = 1 \right\}. \]
Puesto que \(J_\varphi(\mathbf{x})\) es no singular en \(D\), \(\lambda_\mathbf{x} > 0\) para todo \(\mathbf{x} \in D\). Ahora bien, \(\lambda_\mathbf{x}\) también es una función continua de \(\mathbf{x}\), por lo que en \(D\) existe un \(\mathbf{x}_0\) donde \(\lambda_\mathbf{x}\) alcanza un valor mínimo \(\lambda\) y \(\lambda > 0\). Por lo tanto, podemos escribir, para cualquier \(\mathbf{y} \neq \mathbf{0}\) en \(E^n\) y cualquier \(\mathbf{x} \in D\),
\[ \infty > \|J_\varphi(\mathbf{x})\| \ge \left\| J_\varphi(\mathbf{x}) \frac{\mathbf{y}}{\|\mathbf{y}\|} \right\| \ge \lambda_\mathbf{x} \|J_\varphi(\mathbf{x})\| \ge \lambda \|J_\varphi(\underline{\mathbf{x}})\| > 0. \]
Estamos listos para pasar a la siguiente parte de la demostración. Deberíamos enfatizar, tal vez, que \(\lambda_\mathbf{x}\) en efecto alcanza un valor mínimo; esto depende simplemente del hecho de que
\[ \left\| \frac{J_\varphi(\mathbf{x})}{\|J_\varphi(\mathbf{x})\|} \mathbf{y} \right\| \]
es una función continua de las dos variables \(\mathbf{x}\) y \(\mathbf{y}\) por el Teorema 9.1.14, y por lo tanto alcanza un valor mínimo en el conjunto compacto \(D \times \{\mathbf{y} : \|\mathbf{y}\| = 1\} \subset E^n \times E^n\).
Ahora, sean \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in D\) y póngase \(\mathbf{v} = \mathbf{u} + \mathbf{h}\). Puesto que
\[ \varphi(\mathbf{u} + \mathbf{h}) - \varphi(\mathbf{u}) - J_\varphi(\mathbf{u})\mathbf{h} = o_\mathbf{u}(\mathbf{h}) \]
y \(\varphi\) es \(C^1\), es claro que \(o_\mathbf{u}(\mathbf{h})\) es una función continua de \(\mathbf{h}\) y de \(\mathbf{u}\) (de nuevo, usamos el hecho de que si \(\mathbf{u}\) realiza un cambio lo suficientemente pequeño, el efecto de \(J_\varphi(\mathbf{u})\) sobre \(\mathbf{h}\) será necesariamente pequeño). Pero debido a la manera en que \(\mathbf{h}\) y \(\mathbf{u}\) aparecen en el lado izquierdo, es evidente que \(o_\mathbf{u}(\mathbf{h})\) es continua en ambas variables simultáneamente; es decir, si \((\mathbf{u}', \mathbf{h}') \to (\mathbf{u}, \mathbf{h})\), entonces \(o_{\mathbf{u}'}(\mathbf{h}') \to o_\mathbf{u}(\mathbf{h})\).
Defínase la función \(f(\mathbf{u}, \mathbf{h})\) mediante
\[ f(\mathbf{u}, \mathbf{h}) = \frac{\|o_\mathbf{u}(\mathbf{h})\|}{\|\mathbf{h}\|}, \quad (\mathbf{u}, \mathbf{h}) \in D \times B, \]
donde \(B\) es una bola compacta en \(E^n\) centrada en el origen. \(f(\mathbf{u}, \mathbf{h}) \to 0\) cuando \(\mathbf{h} \to \mathbf{0}\), para cada \(\mathbf{u} \in D\), por lo que la discontinuidad en \(\mathbf{h} = \mathbf{0}\) es evitable; definimos \(f(\mathbf{u}, \mathbf{0}) = 0\) para cada \(\mathbf{u} \in D\) y señalamos que, puesto que \(D \times B\) es compacto, \(f(\mathbf{u}, \mathbf{h})\) es uniformemente continua en \(D \times B\).
El problema que yo veo es que fijar \(f(\mathbf{u}, \mathbf{0}) = 0\) no es suficiente para que \( f \) sea continua respecto de \( \mathbf{u} \) y \( \mathbf{h} \) simultáneamente. Si tomamos un \( \mathbf{u} \) fijo, está claro que \(f(\mathbf{u}, \mathbf{h}) \to 0\) cuando \(\mathbf{h} \to \mathbf{0}\), pero no veo por qué esto tiene que ser cierto cuando ambos \( \mathbf{u} \) y \( \mathbf{h} \) se "mueven" juntos para aproximar algún \( \mathbf{u}' \) y \( \mathbf{h} \). Sin esa garantía, ya no podemos pasar a la afirmación de que la compacidad de \(D \times B\) nos da la continuidad uniforme de \( f \) en dicho conjunto.
¿Estoy en lo cierto, o hay algo que no estoy tomando en cuenta?
Saludos.
